（10分）设 A B C 的内角A、B、C所对的边长分别为…——2008 高考数学第 17 题答案解析

（Ⅰ）如图，过点 $C$ 作 $CD \perp AB$ 于点 $D$。
在 $\text{Rt}\triangle BCD$ 中，由三角函数定义可知：
$CD = BC \sin B = a \sin B$，$BD = BC \cos B = a \cos B$。
已知 $a \cos B = 3$，即 $BD = 3$。
又已知 $b \sin A = 4$。在 $\text{Rt}\triangle ACD$ 中，$CD = AC \sin A = b \sin A$，故 $CD = 4$。
根据勾股定理，在 $\text{Rt}\triangle BCD$ 中：
$a = BC = \sqrt{BD^2 + CD^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$。

（Ⅱ）由三角形面积公式 $S = \frac{1}{2} AB \cdot CD$，
代入已知数据 $S=10, CD=4$，得：
$10 = \frac{1}{2} \cdot c \cdot 4$，解得 $c = AB = 5$。
由（Ⅰ）知 $a=5$，且 $a \cos B = 3$，则 $\cos B = \frac{3}{5}$。
由余弦定理 $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B$，得：
$b^2 = 5^2 + 5^2 - 2 \times 5 \times 5 \times \frac{3}{5} = 25 + 25 - 30 = 20$。
因为 $b > 0$，所以 $b = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$。
故 $\triangle ABC$ 的周长 $l = a + b + c = 5 + 2\sqrt{5} + 5 = 10 + 2\sqrt{5}$。