2022_全国乙卷
11. 如图，一不可伸长的细绳的上端固定，下端系在边长为 $l = 0 . 4 0 \mathrm { m }$ 的正方形金属框的一个顶点上。金属框的一条对角线水平，其下方有方向垂直于金属框所在平面的匀强磁场。已知构成金属框的导线单位长度的阻值为 $\lambda { = } 5 . 0 { \times } 1 0 ^ { - 3 } \Omega / \mathrm { m }$ ；在 $t = 0$ 到 $t = 3 . 0 \mathrm { s }$ 时间内，磁感应强度大小随时间t的变化关系为$B ( t ) = 0 . 3 - 0 . 1 t \mathrm { ( S I ) }$ 。求:
①t =2.0s时金属框所受安培力的大小；
（2）在t = 0到t =2.0s时间内金属框产生的焦耳热。
(1) $0 . 0 4 \sqrt { 2 } \mathrm { N }$; (2) 0.016J
【答案】（1） $0 . 0 4 \sqrt { 2 } \mathrm { N }$ ；（2）0.016J
【解析】
【详解】（1）金属框的总电阻为
$$ R = 4 l \lambda = 4 \times 0 . 4 \times 5 \times 1 0 ^ { - 3 } \Omega = 0 . 0 0 8 \Omega $$
金属框中产生的感应电动势为
$$ E = \frac { \Delta \Phi } { \Delta t } = \frac { \Delta B \times \frac { l ^ { 2 } } { 2 } } { \Delta t } = 0 . 1 \times \frac { 1 } { 2 } \times 0 . 4 ^ { 2 } \mathrm { V } = 0 . 0 0 8 \mathrm { V } $$
金属框中的电流为
$$ I = { \frac { E } { R } } = 1 \mathrm { A } $$
$t { = } 2 . 0 \mathrm { s }$ 时磁感应强度为
$$ B _ { 2 } = ( 0 . 3 - 0 . 1 { \times } 2 ) \mathrm { T } { = } 0 . 1 \mathrm { T } $$
金属框处于磁场中的有效长度为
$$ L = \sqrt { 2 } l $$
此时金属框所受安培力大小为
$$ F _ { _ { A } } = B _ { 2 } I L = 0 . 1 { \times } 1 { \times } \sqrt { 2 } \times 0 . 4 \mathrm { N } { = } 0 . 0 4 \sqrt { 2 } \mathrm { N } $$
（2）0: 2.0s内金属框产生的焦耳热为
$$ Q = I ^ { 2 } R t = 1 ^ { 2 } \times 0 . 0 0 8 \times 2 \mathrm { J } = 0 . 0 1 6 \mathrm { J } $$