（5分）设x、y、z为正数，且 2 ^ x = 3 ^ y…——2017 高考数学第 11 题答案解析

【考点】72：不等式比较大小

【专题】35：转化思想；51：函数的性质及应用；59：不等式的解法及应用【分析】x、y、z为正数，令 $2 ^ { \mathsf { x } } { = } 3 ^ { \mathsf { y } } { = } 5 ^ { z } { = } 1 \mathsf { k } { > } 1$ $\mathsf { I g k } { > } 0$ ．可得 $\cdot = \frac { 1 8 } { 1 8 2 } , \forall = \frac { 1 8 } { 1 8 3 } , \mathrm { ~ } 2 =$

${ \frac { 1 \mathrm { g k } } { 1 \mathrm { g } 5 } } .$ ．可得 $3 { \mathsf { v } } = { \frac { 1 \operatorname { g k } } { 1 \operatorname { g } { \sqrt [ { 3 } ] { 3 } } } } , 2 { \mathsf { x } } = { \frac { 1 \operatorname { g k } } { 1 \operatorname { g } { \sqrt { 2 } } } } , 5 z = { \frac { 1 \operatorname { g k } } { 1 \operatorname { g } { \sqrt [ { 5 } ] { 5 } } } } .$ ．根据 $\sqrt [ 3 ] { 3 } = \sqrt [ 6 ] { 9 } > \sqrt [ 6 ] { 8 } = \sqrt { 2 }$

${ \sqrt { 2 } } { = } \sqrt [ 1 0 ] { 3 2 } { > } \sqrt [ 1 0 ] { 2 5 } = \sqrt [ 5 ] { 5 }$ ．即可得出大小关系

另解： $x , y , z$ 为正数，令 $2 ^ { \mathsf { x } } = 3 ^ { \mathsf { y } } = 5 ^ { z } = 1 < 1$ ．lgk＞0．可得 $x = \frac { 1 8 5 } { 1 8 2 } , y = \frac { 1 8 5 } { 1 8 3 } , z = \frac { 1 8 5 } { 1 8 5 }$ $\cdot \ \frac { 2 \mathbf { x } } { 3 \mathbf { y } } = \frac { 2 } { 3 } \times \frac { 1 \mathtt { g } 3 } { 1 \mathtt { g } 2 } = \frac { 1 \mathtt { g } 9 } { 1 \mathtt { g } 8 } > 1$ ，可得 $2 x > 3 y$ ，同理可得 $5 2 > 2 1$

【解答】解：x、y、z为正数，

令 $2 ^ { \mathrm { x } } = 3 ^ { \mathrm { y } } = 5 ^ { z } = \mathrm { k } > 1 . ~ | \mathrm { g } | > 0 .$

则 $x = \frac { 1 \mathrm { g k } } { 1 \mathrm { g } 2 } , \forall = \frac { 1 \mathrm { g k } } { 1 \mathrm { g } 3 } , \ : \ : z = \frac { 1 \mathrm { g k } } { 1 \mathrm { g } 5 } .$

$$ \therefore 3 \gamma = \frac { 1 \mathrm { g k } } { 1 \mathrm { g } \sqrt [ 3 ] { 3 } } , 2 \times = \frac { 1 \mathrm { g k } } { 1 \mathrm { g } \sqrt { 2 } } , 5 \tau = \frac { 1 \mathrm { g k } } { 1 \mathrm { g } \sqrt [ 5 ] { 5 } } . $$

$$ \because \sqrt [ 3 ] { 3 } = \sqrt [ 6 ] { 9 } > \sqrt [ 6 ] { 8 } = \sqrt { 2 } , \sqrt [ 3 ] { 2 } = \sqrt [ 1 0 ] { 3 2 } > \sqrt [ 1 0 ] { 2 5 } = \sqrt [ 5 ] { 5 } . $$

$$ \therefore 1 \tt g \sqrt [ 3 ] { 3 } > \lg \sqrt { 2 } > \lg \sqrt [ 5 ] { 5 } > 0 . $$

$$ \therefore 3 y < 2 x < 5 z . $$

另解：x、y、z为正数，

$2 ^ { \mathsf { x } } { = } 3 ^ { \mathsf { y } } { = } 5 ^ { z } { = } 1 \mathsf { k } { > } 1$ ．lgk＞0

则 $x = \frac { 1 8 5 } { 1 8 2 } , y = \frac { 1 8 5 } { 1 8 3 } , z = \frac { 1 8 5 } { 1 8 5 }$

$\therefore \frac { 2 x } { 3 y } = \frac { 2 } { 3 } \times \frac { 1 8 3 } { 1 8 2 } = \frac { 1 8 9 } { 1 8 8 } > 1$ ，可得 $2 x > 3 y$

$\frac { 5 z } { 2 \mathbf { x } } = \frac { 5 } { 2 } \times \frac { 1 \mathbf { g } 2 } { 1 \mathbf { g } 5 } = \frac { 1 \mathbf { g } 2 } { 1 \mathbf { g } 5 ^ { 2 } } > 1$ ．可得 $5 2 > 2 \times$

综上可得： $5 z > 2 x > 3 y$

解法三：对k取特殊值，也可以比较出大小关系

故选：D

【点评】本题考查了对数函数的单调性、换底公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题