（本小题满分 13 分） 已知函数 f(x)=tan (2…——2011 高考数学第 14 题答案解析

【解答】
本小题主要考查两角和的正弦、余弦、正切公式，同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦、余弦公式，正切函数的性质等基础知识，考查基本运算能力。满分 13 分。
（I）解：由 $2 x+\frac{\pi}{4} \neq \frac{\pi}{2}+k \pi, k \in Z$ ，
得 $x \neq \frac{\pi}{8}+\frac{k \pi}{2}, k \in Z$ ．
所以 $f(x)$ 的定义域为 $\left\{x \in R \left\lvert\, x \neq \frac{\pi}{8}+\frac{k \pi}{2}\right., k \in Z\right\}$
$f(x)$ 的最小正周期为 $\frac{\pi}{2}$ ．
（II）解：由 $f\left(\frac{a}{2}\right)=2 \cos 2 a$ ，
得 $\tan \left(a+\frac{\pi}{4}\right)=2 \cos 2 a$ ，
$\frac{\sin \left(a+\frac{\pi}{4}\right)}{\cos \left(a+\frac{\pi}{4}\right)}=2\left(\cos ^{2} a-\sin ^{2} a\right)$,
整理得 $\frac{\sin a+\cos a}{\cos a-\sin a}=2(\cos a+\sin a)(\cos a-\sin a)$ ．
因为 $a \in\left(0, \frac{\pi}{4}\right)$ ，所以 $\sin a+\cos a \neq 0$ ．
因此 $(\cos a-\sin a)^{2}=\frac{1}{2}$ ，即 $\sin 2 a=\frac{1}{2}$ ．
由 $a \in\left(0, \frac{\pi}{4}\right)$ ，得 $2 a \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ ．
所以 $2 a=\frac{\pi}{6}$ ，即 $a=\frac{\pi}{12}$ ．