（本小题满分 12 分） 在 A B C 中． a、 b、…——2008 高考数学第 17 题答案解析

【解答】
解：由 $\tan \frac{A+B}{2}+\tan \frac{C}{2}=4$ 得 $\cot \frac{C}{2}+\tan \frac{C}{2}=4$
$\therefore \frac{\cos \frac{C}{2}}{\sin \frac{C}{2}}+\frac{\sin \frac{C}{2}}{\cos \frac{C}{2}}=4 \quad \therefore \frac{1}{\sin \frac{C}{2} \cos \frac{C}{2}}=4$
$\therefore \sin C=\frac{1}{2}$ ，又 $C \in(0, \pi)$
$\therefore C=\frac{\pi}{6}$ ，或 $C=\frac{5 \pi}{6}$
由 $2 \sin B \cos C=\sin A$ 得 $2 \sin B \cos B=\sin (B+C)$

即 $\sin (B-C)=0 \quad \therefore B=C$
$B=C=\frac{\pi}{6}$
$A=\pi-(B+C)=\frac{2 \pi}{3}$
由正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$ 得
$b=c=a \frac{\sin B}{\sin A}=2 \sqrt{3} \times \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2$