（12分）已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血…——2008 高考数学第 20 题答案解析

【考点】C5：互斥事件的概率加法公式

【专题】11：计算题；35：转化思想

【分析】（解法一）主要依乙所验的次数分类，并求出每种情况下被验中的概率，再求甲种方案的次数不少于乙种次数的概率；

（解法二）先求所求事件的对立事件即甲的次数小于乙的次数，再求出它包含的两个事件“甲进行的一次即验出了和甲进行了两次，乙进行了3次”的概率，再代入对立事件的概率公式求解

【解答】解：（解法一）：主要依乙所验的次数分类：

若乙验两次时，有两种可能：

①先验三只结果为阳性，再从中逐个验时，恰好一次验中概率为：

$\frac { C _ { 4 } ^ { 2 } \tt A _ { 3 } ^ { 3 } } { \tt A _ { 5 } ^ { 3 } } \times \frac { 1 } { \tt A _ { 3 } ^ { 1 } } = \frac { 6 \times 6 } { 3 \times 4 \times 5 } \times \frac { 1 } { 3 } = \frac { 1 } { 5 }$ （也可以用 $\frac { c _ { 4 } ^ { 2 } } { c _ { 5 } ^ { 3 } } \times \frac { 1 } { c _ { 3 } ^ { 1 } } = \frac { 6 } { 1 0 } \times \frac { 1 } { 3 } = \frac { 1 } { 5 } )$

②先验三只结果为阴性，再从其它两只中验出阳性（无论第二次验中没有，均可以在第二次结束）

$$ \frac { A _ { 4 } ^ { 3 } A _ { 2 } ^ { 1 } } { A _ { 5 } ^ { 3 } A _ { 2 } ^ { 2 } } = \frac { 2 4 } { 5 \times 3 \times 4 } = \frac { 2 } { 5 } ( \frac { C _ { 4 } ^ { 3 } } { C _ { 5 } ^ { 3 } } = \frac { 4 } { 1 0 } = \frac { 2 } { 5 } ) $$

∴乙只用两次的概率为 $\frac { 1 } { 5 } + \frac { 2 } { 5 } = \frac { 3 } { 5 }$

若乙验三次时，只有一种可能：

先验三只结果为阳性，再从中逐个验时，恰好二次验中概率为：∴在三次验出时概率为 $\frac { 2 } { 5 }$

∴甲种方案的次数不少于乙种次数的概率为：

$$ \frac { 3 } { 5 } \times ( 1 - \frac { 1 } { 5 } ) + \frac { 2 } { 5 } ( 1 - \frac { 1 } { 5 } - \frac { 1 } { 5 } ) = \frac { 1 2 } { 2 5 } + \frac { 6 } { 2 5 } = \frac { 1 8 } { 2 5 } $$

（解法二）：设A为甲的次数不小于乙的次数，则 $\overline { { \mathbb { A } } }$ 表示甲的次数小于乙的次数

则只有两种情况，甲进行的一次即验出了和甲进行了两次，乙进行了3次

则设 $\mathsf { A } _ { 1 } , ~ \mathsf { A } _ { 2 }$ 分别表示甲在第一次、二次验出，并设乙在三次验出为B

$$ \mathrm { P } ( \mathrm { A } _ { 1 } ) = \frac { 1 } { \mathrm { C } _ { 5 } ^ { 1 } } = \frac { 1 } { 5 } , \mathrm { P } ( \mathrm { A } _ { 2 } ) = \frac { \mathrm { A } _ { 4 } ^ { 1 } } { \mathrm { A } _ { 5 } ^ { 2 } } = \frac { 1 } { 5 } , \mathrm { P } ( \mathrm { B } ) = \frac { \mathrm { C } _ { 4 } ^ { 2 } } { \mathrm { C } _ { 5 } ^ { 3 } } \mathrm { ( } 1 - \frac { 1 } { \mathrm { C } _ { 3 } ^ { 1 } } \mathrm { ) } = \frac { 6 } { 1 0 } \times \frac { 2 } { 3 } = \frac { 2 } { 5 } $$

$$ \therefore P ( \overline { { \mathbb { A } } } ) = \mathbb { P } ( \mathbb { A } _ { 1 } ) + \mathbb { P } ( \mathbb { A } _ { 2 } ) \bullet \mathbb { P } ( \mathbb { B } ) = \frac { 1 } { 5 } + \frac { 1 } { 5 } \times \frac { 2 } { 5 } = \frac { 7 } { 2 5 } $$

$$ \therefore P ( A ) = 1 - \frac { 7 } { 2 5 } = \frac { 1 8 } { 2 5 } $$

【点评】本题考查了用计数原理来求事件的概率，并且所求的事件遇过于复杂的，要主动去分析和应用对立事件来处理