2011_江苏卷
17．（本小题满分14分）
请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设 $A E = F B = x ( \mathrm { c m } )$
（1）某广告商要求包装盒的侧面积S（cm<sup>2</sup>）最大，试问x应取何值？
（2）某厂商要求包装盒的容积 $V ~ ( \mathrm { c m } ^ { 3 } )$ 最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值
见解析
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【解答】
本小题主要考查函数的概念、导数等基础知识，考查数学建模能力、空间想象能力、数学阅读能力及解决实际问题的能力.满分14分.解：设包装盒的高为 $h ( \mathrm { c m } )$ ，底面边长为 $a ( { \mathrm { c m } } )$ .由已知得$a = \sqrt { 2 } x , h = \frac { 6 0 - 2 x } { \sqrt { 2 } } = \sqrt { 2 } \left( 3 0 - x \right) , 0 < x < 3 0 ,$ $S = 4 a h = 8 x ( 3 0 - x ) = - 8 ( x - 1 5 ) ^ { 2 } + 1 8 0 0 ,$ 所以当 $x = 1 5$ 时，S取得最大值.$\left( 2 \right) V = a ^ { 2 } h = 2 \sqrt { 2 } \left( - x ^ { 3 } + 3 0 x ^ { 2 } \right) , V ^ { \prime } = 6 \sqrt { 2 } x ( 2 0 - x )$ 由 $V ^ { \prime } = 0$ 得 $x = 0 ($ 舍)或 $\scriptstyle x = 2 0$ 当 $x \in ( 0 , 2 0 )$ 时， $V ^ { \prime } { > } 0$ ；当 $x \in ( 2 0 . 3 0 )$ 时， $V ^ { \prime } { < } 0 ,$ 所以当 $x = 2 0$ 时，V取得极大值，也是最大值
此时 $\frac { h } { a } = \frac { 1 } { 2 }$ .即包装盒的高与底面边长的比值为 $\frac { 1 } { 2 }$