已知椭圆 x^ 2 a^ 2 + y^ 2 b^ 2 =1…——2020 高考数学第 16 题答案解析

【解答】
已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的一个顶点为 $A(0,-3)$ ，右焦点为 $F$ ，且 $|O A|=|O F|$ ，其中 $O$ 为原点．
（I）求椭圆的方程；
（II）已知点 $C$ 满足 $3 \overrightarrow{O C}=\overrightarrow{O F}$ ，点 $B$ 在椭圆上（ $B$ 异于椭圆的顶点），直线 $A B$ 与以 $C$ 为圆心的圆相切于点 $P$ ，且 $P$ 为线段 $A B$ 的中点．求直线 $A B$ 的方程．

【答案】
（I）$\frac{x^{2}}{18}+\frac{y^{2}}{9}=1$ ；
（II）$y=\frac{1}{2} x-3$ ，或 $y=x-3$ ．

【解析】

【分析】

（I）根据题意，并借助 $a^{2}=b^{2}+c^{2}$ ，即可求出椭圆的方程；
（II）利用直线与圆相切，得到 $C P \perp A B$ ，设出直线 $A B$ 的方程，并与椭圆方程联立，求出 $B$ 点坐标，进而求出 $P$ 点坐标，再根据 $C P \perp A B$ ，求出直线 $A B$ 的斜率，从而得解．

【详解】（I）∵ 椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的一个顶点为 $A(0,-3)$ ，
$\therefore b=3$ ，
由 $|O A|=|O F|$ ，得 $c=b=3$ ，
又由 $a^{2}=b^{2}+c^{2}$ ，得 $a^{2}=3^{2}+3^{2}=18$ ，

所以，椭圆的方程为 $\frac{x^{2}}{18}+\frac{y^{2}}{9}=1$ ；
（II）$\because$ 直线 $A B$ 与以 $C$ 为圆心的圆相切于点 $P$ ，所以 $C P \perp A B$ ，根据题意可知，直线 $A B$ 和直线 $C P$ 的斜率均存在，

设直线 $A B$ 的斜率为 $k$ ，则直线 $A B$ 的方程为 $y+3=k x$ ，即 $y=k x-3$ ，
$\left\{\begin{array}{l}y=k x-3 \\ \frac{x^{2}}{18}+\frac{y^{2}}{9}=1\end{array}\right.$ ，消去 $y$ ，可得 $\left(2 k^{2}+1\right) x^{2}-12 k x=0$ ，解得 $x=0$ 或 $x=\frac{12 k}{2 k^{2}+1}$ ．

将 $x=\frac{12 k}{2 k^{2}+1}$ 代入 $y=k x-3$ ，得 $y=k \cdot \frac{12 k}{2 k^{2}+1}-3=\frac{6 k^{2}-3}{2 k^{2}+1}$ ，
所以，点 $B$ 的坐标为 $\left(\frac{12 k}{2 k^{2}+1}, \frac{6 k^{2}-3}{2 k^{2}+1}\right)$ ，
因为 $P$ 为线段 $A B$ 的中点，点 $A$ 的坐标为 $(0,-3)$ ，
所以点 $P$ 的坐标为 $\left(\frac{6 k}{2 k^{2}+1}, \frac{-3}{2 k^{2}+1}\right)$ ，
由 $3 \overrightarrow{O C}=\overrightarrow{O F}$ ，得点 $C$ 的坐标为 $(1,0)$ ，
所以，直线 $C P$ 的斜率为 $k_{C P}=\frac{\frac{-3}{2 k^{2}+1}-0}{\frac{6 k}{2 k^{2}+1}-1}=\frac{3}{2 k^{2}-6 k+1}$ ，
又因为 $C P \perp A B$ ，所以 $k \cdot \frac{3}{2 k^{2}-6 k+1}=-1$ ，
整理得 $2 k^{2}-3 k+1=0$ ，解得 $k=\frac{1}{2}$ 或 $k=1$ ．
所以，直线 $A B$ 的方程为 $y=\frac{1}{2} x-3$ 或 $y=x-3$ ．
【点睛】本题考查了椭圆标准方程的求解、直线与椭圆的位置关系、直线与圆的位置关系、中点坐标公式以及直线垂直关系的应用，考查学生的运算求解能力，属于中档题．当看到题目中出现直线与圆锥曲线位置关系的问题时，要想到联立直线与圆锥曲线的方程．