## 17.（本小题满分12分） 设椭圆C: x ^ 2…——2011 高考数学第 17 题答案解析

（1）由椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \ (a>b>0)$ 过点 $(0,4)$，代入方程得 $\frac{16}{b^2}=1$，解得 $b=4$。
又离心率 $e = \frac{c}{a} = \frac{3}{5}$，结合 $a^2 = b^2 + c^2$，可得：
$$ \frac{c^2}{a^2} = \frac{a^2-b^2}{a^2} = 1 - \frac{b^2}{a^2} = \left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{9}{25} $$
将 $b=4$ 代入上式：
$$ 1 - \frac{16}{a^2} = \frac{9}{25} \implies \frac{16}{a^2} = \frac{16}{25} \implies a^2 = 25 $$
故椭圆 $C$ 的方程为 $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$。

（2）过点 $(3,0)$ 且斜率为 $\frac{4}{5}$ 的直线方程为：
$$ y = \frac{4}{5}(x-3) $$
设直线与椭圆的交点为 $A(x_1, y_1), B(x_2, y_2)$，线段 $AB$ 的中点为 $M(x_0, y_0)$。
联立直线与椭圆方程：
$$ \begin{cases} y = \frac{4}{5}(x-3) \\ \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1 \end{cases} $$
消去 $y$，整理得：
$$ \frac{x^2}{25} + \frac{\left[\frac{4}{5}(x-3)\right]^2}{16} = 1 $$
$$ \frac{x^2}{25} + \frac{\frac{16}{25}(x-3)^2}{16} = 1 $$
$$ \frac{x^2}{25} + \frac{(x-3)^2}{25} = 1 $$
两边同乘 25：
$$ x^2 + (x-3)^2 = 25 $$
$$ x^2 + x^2 - 6x + 9 = 25 $$
$$ 2x^2 - 6x - 16 = 0 \implies x^2 - 3x - 8 = 0 $$
判别式 $\Delta = (-3)^2 - 4(1)(-8) = 9 + 32 = 41 > 0$，直线与椭圆有两个交点。
由韦达定理可知：
$$ x_1 + x_2 = 3 $$
则中点横坐标：
$$ x_0 = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{3}{2} $$
将 $x_0$ 代入直线方程求纵坐标：
$$ y_0 = \frac{4}{5}(x_0 - 3) = \frac{4}{5}\left(\frac{3}{2} - 3\right) = \frac{4}{5}\left(-\frac{3}{2}\right) = -\frac{6}{5} $$
故所截线段的中点坐标为 $\left(\frac{3}{2}, -\frac{6}{5}\right)$。