## 17.（本小题满分12分） 设椭圆C: x ^ 2…——2011 高考数学第 17 题答案解析

【分析】①由椭圆过已知点和椭圆离心率可以列出方程组，解方程组即可，也可以分步求解；（2）直线方程和椭圆方程组成方程组，可以求解，也可以利用根与系数关系；然后利用中点坐标公式求解

【解】（1）将点（0，4）代入C的方程得 $\frac { 1 6 } { b ^ { 2 } } = 1 , \therefore b = 4$

又 $e = \frac { c } { a } = \frac { 3 } { 5 }$ 得 ${ \frac { a ^ { 2 } - b ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } } = { \frac { 9 } { 2 5 } }$ ，即 $1 - \frac { 1 6 } { a ^ { 2 } } = \frac { 9 } { 2 5 }$ ， ∴ a = 5

$\therefore C$ 的方程为 $\frac { x ^ { 2 } } { 2 5 } + \frac { y ^ { 2 } } { 1 6 } = 1$

(2）过点(3,0)且斜率为 $\frac { 4 } { 5 }$ 的直线方程为 $y = \frac { 4 } { 5 } \big ( x - 3 \big )$

设直线与C的交点为 $\mathrm { A } \left( x _ { 1 } , y _ { 1 } \right) , \mathrm { B } \left( x _ { 2 } , y _ { 2 } \right)$ ，将直线方程 $y = \frac { 4 } { 5 } \big ( x - 3 \big )$ 代入C的方程，得

$\frac { x ^ { 2 } } { 2 5 } + \frac { \left( x - 3 \right) ^ { 2 } } { 2 5 } = 1$ ，即 $x ^ { 2 } - 3 x - 8 = 0$ ，解得 $x _ { 1 } = \frac { 3 - \sqrt { 4 1 } } { 2 } , x _ { 2 } = \frac { 3 + \sqrt { 4 1 } } { 2 }$

$\therefore A B$ 的中点坐标 ${ \overline { { x } } } = { \frac { x _ { 1 } + x _ { 2 } } { 2 } } = { \frac { 3 } { 2 } } , { \overline { { y } } } = { \frac { y _ { 1 } + y _ { 2 } } { 2 } } = { \frac { 2 } { 5 } } { \big ( } x _ { 1 } + x _ { 2 } - 6 { \big ) } = - { \frac { 6 } { 5 } }$

即所截线段的中点坐标为 $\left( \frac { 3 } { 2 } , - \frac { 6 } { 5 } \right)$

注：用韦达定理正确求得结果，同样给分