（13分）近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾…_2012北京高考数学第17题答案解析 | 高考真题检索

Question

17．（13分）近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，先随机抽取了该市三类垃圾箱总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）；

	“厨余垃圾”箱	“可回收物”箱	“其他垃圾”箱
厨余垃圾	400	100	100
可回收物	30	240	30
其他垃圾	20	20	60

（1）试估计厨余垃圾投放正确的概率；（2）试估计生活垃圾投放错误的概率；（3）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a，b，c，其中 $\mathsf { a } > 0 , \mathsf { a } + \mathsf { b } + \mathsf { c } = 6 0 0$ ．当数据a，b，c的方差 $\mathsf { S } ^ { 2 }$ 最大时，写出a，b，c的值（结论不要求证明），并求此时 $\mathsf { S } ^ { 2 }$ 的值（求： $S ^ { 2 } = \frac { 1 } { n } [ ( x _ { 1 } - \overline { { x } } ) ^ { 2 } + ( x _ { 2 } - \overline { { x } } ) ^ { 2 } + \ldots + ( x _ { n } - \overline { { x } } )$ ]，其中 $\overline { { \mathbf { x } } }$ 为数据 $ imes _ { 1 } , ~ imes _ { 2 } , ~ \ldots ,$ ${ \sf X } _ { \sf \Pi }$ 的平均数）

Accepted Answer

见解析

【考点】BC：极差、方差与标准差；CE：模拟方法估计概率

【专题】5I：概率与统计

【分析】（1）厨余垃圾 600吨，投放到“厨余垃圾”箱400吨，故可求厨余垃圾投放正确的概率；

（2）生活垃圾投放错误有200+60+20+20=300，故可求生活垃圾投放错误的概率；（ 3 ）计算方差可得 $s ^ { 2 } = \frac { 1 } { 3 } [ ( a - 2 0 0 ) ^ { 2 } + ( b - 2 0 0 ) ^ { 2 } + ( c - 2 0 0 ) ^ { 2 } ] =$ $\frac { 1 } { 3 } ( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c ^ { 2 } - 1 2 0 0 0 0 )$ ，因此有当 $\mathsf { a } { = } 6 0 0 , \mathsf { b } { = } 0 , \mathsf { c } { = } 0$ 时，有 $\mathsf { S } ^ { 2 } \mathsf { = } 8 0 0 0 0$

【解答】解：（1）由题意可知：厨余垃圾600吨，投放到“厨余垃圾”箱400吨，故厨余垃圾投放正确的概率为 $\frac { 4 0 0 } { 6 0 0 } = \frac { 2 } { 3 }$

> ②由题意可知：生活垃圾投放错误有200+60+20+20=300，故生活垃圾投放错误的概率为 $\frac { 3 0 0 } { 1 0 0 0 } = \frac { 3 } { 1 0 }$ ；

> ③由题意可知： $\because a + b + c = 6 0 0 , \therefore a$ ，b，c的平均数为200

$$ \therefore \therefore \underline { { \mathsf { s } } } ^ { 2 } = \frac { 1 } { 3 } \left[ \left( \mathsf { a } - 2 0 0 \right) ^ { 2 } + \left( \mathsf { b } - 2 0 0 \right) ^ { 2 } + \left( \mathsf { c } - 2 0 0 \right) ^ { 2 } \right] = \frac { 1 } { 3 } \left( \mathsf { a } ^ { 2 } + \mathsf { b } ^ { 2 } + \mathsf { c } ^ { 2 } - 1 2 0 0 0 0 \right) , $$

$\because ( a + b + c ) ^ { 2 } = a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c ^ { 2 } + 2 a b + 2 b c + 2 a c \geq a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c ^ { 2 }$ ，因此有当 $\mathsf { a } { = } 6 0 0 , \mathsf { b } { = } 0 , \mathsf { c } { = } 0$ 时，有 $\mathsf { S } ^ { 2 } \mathsf { = } 8 0 0 0 0$

【点评】本题考查概率知识的运用，考查学生的阅读能力，属于中档题

（13分）近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾…——2012 高考数学第 17 题答案解析

这道题真正考什么？

如果目标是先及格，这类题值得掌握。

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