（12分）（2008•四川）如图，一张平行四边形的硬纸片…——2008 高考数学第 19 题答案解析

【考点】与二面角有关的立体几何综合题；平面与平面垂直的判定

【专题】计算题

【分析】（Ⅰ）要证面面垂直，只要证线面垂直，要证线面垂直，只要证线线垂直，由题意易得 $\mathrm { D B \bot B C }$ ，又 $\mathrm { D B \bot B C _ { 0 } , }$ ，则题目可证

（Ⅱ）解法一：由 DB⊥BC，AD⊥BD，故只要过 B 做 BE∥AD，则角∠CBE 为二面角 A﹣BD﹣C的平面角，构造三角形求角即可

解法二：根据题意，建立空间坐标系，利用空间向量求解．由于DA⊥BD，BC⊥BD，所以 $\overrightarrow { D _ { s } }$

与 $\overrightarrow { B C }$ 夹角的大小等于二面角A﹣BD﹣C的大小．由夹角公式求 $\overrightarrow { \mathrm { D A } }$ 与 $\overrightarrow { B C }$ 的夹角的余弦，从而确定角的大小

【解答】解：（Ⅰ）证明：因为 $\scriptstyle \mathrm { A D = B C } _ { 0 } = \mathrm { B D = 1 }$ ${ \mathrm { A B } } = { \mathfrak { C } } _ { \bar { \Pi } } { \bar { \mathrm { D } } } = { \sqrt { 2 } } ;$ ，所以 $\angle \mathrm { D B C } _ { 0 } { = } 9 0 ^ { \circ }$

$$ \angle \mathrm { A D B = 9 0 ^ { \circ } } . $$

因为折叠过程中， $\angle \mathrm { D B C } = \angle \mathrm { D B C } _ { 0 } { = } 9 0 ^ { \circ }$ ，所以 DB⊥BC，又 $\mathrm { D B \bot B C _ { 0 } }$

故 DB⊥平面 $\mathrm { C B C } _ { 0 }$

又 DB⊂平面 $\mathrm { { A B C } _ { 0 } D }$

所以平面 $\mathrm { A B C _ { 0 } D \perp }$ 平面 $\mathrm { C B C _ { 0 } }$

（Ⅱ）解法一：如图，延长 $\mathrm { C _ { 0 } B }$ 到E，使 $\mathrm { B E ^ { = } C _ { 0 } B }$ ，连接 AE，CE因为 AD 平行等于 BE，BE=1，DB=1，∠DBE=90°，所以AEBD为正方形， $\mathbf { A } \mathrm { E } { = } 1$ 由于AE，DB 都与平面 $\mathrm { C B C _ { 0 } }$ 垂直，所以 $\mathrm { \ A E \bot C E }$ ，可知 $\mathbf { A } \mathbf { C } > 1$ 因此只有 $\tt A C = A B = \sqrt { 2 } H . 1$ $\triangle \mathrm { A B C }$ 为等腰三角形在 $\mathrm { R t } \triangle \mathrm { A E C }$ 中， $C E = \sqrt { A C ^ { 2 } - A E ^ { 2 } } = 1$ ，又 $\mathrm { B C } { = } 1$ 所以△CEB为等边三角形， $\angle C \mathrm { B E = } 6 0 ^ { \circ }$ 由（Ⅰ）可知， $\mathrm { C B \bot B D }$ ，EB⊥BD，所以∠CBE为二面角 $\mathrm { A \mathrm { ~ - ~ } B D \mathrm { ~ - ~ } C }$ 的平面角，即二面角 $\mathrm { A \mathrm { ~ - ~ } B D \mathrm { ~ - ~ } C }$ 的大小为 $6 0 ^ { \circ } .$

解法二：以D为坐标原点，射线DA，DB 分别为x轴正半轴和y轴正半轴，

建立如图的空间直角坐标系 $\mathrm { D } - \mathrm { \bf { X } } \mathrm { \bf { y } } \mathrm { \bf { Z } }$

则A（1，0，0），B（0，1，0），D（0，0，0）

由（Ⅰ）可设点C 的坐标为 $( \mathbf { \sigma } _ { \mathbf { X } } , \ \mathbf { \sigma } _ { 1 } , \ \mathbf { \sigma } _ { Z } )$ ，其中 $\mathbf z > 0$ ，则有 $\scriptstyle \mathbf { x } ^ { 2 } + z ^ { 2 } = 1$ ．①

因为 $\triangle \mathrm { A B C }$ 为等腰三角形，所以AC=1或 ${ \mathrm { A C } } = { \sqrt { 2 } } .$

若 AC=1，则有 $( \mathbf { x } - 1 ) \ ^ { 2 } + 1 + \mathbf { z } ^ { 2 } = 1$

由此得x=1，z=0，不合题意

若 ${ \mathrm { A C } } = { \sqrt { 2 } } ,$ ，则有 $( \mathbf { x } - 1 ) \ ^ { 2 } + 1 + \mathbf { z } ^ { 2 } = 2$ ．②

联立①和②得 $x = \frac { 1 } { 2 } , \quad z = \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } .$ 故点C的坐标为 $( { \frac { 1 } { 2 } } , \ 1 , \ { \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } } )$

由于 $\mathrm { D A } \bot \mathrm { B D }$ ，BC⊥BD，所以 $\overrightarrow { \mathrm { D A } }$ 与 $\overrightarrow { B C }$ 夹角的大小等于二面角 A﹣BD﹣C 的大小

又 $\overrightarrow { \mathrm { D A } } = \left( 1 , \ 0 , \ 0 \right)$ $\overrightarrow { \mathrm { B C } } = \mathrm { \Omega } ( \frac { 1 } { 2 }$ , 0, $\frac { \sqrt { 3 } } { 2 } )$ $\cos < \overrightarrow { D A }$ $\overrightarrow { B C } > = \frac { \overrightarrow { D A } \cdot \overrightarrow { B C } } { \vert \overrightarrow { D A } \vert \vert \overrightarrow { B C } \vert } = \frac { 1 } { 2 }$

所以 $< \overrightarrow { D A } , \overrightarrow { B C } > = 6 0 ^ { \circ }$

即二面角A﹣BD﹣C 的大小为 $6 0 ^ { \circ }$

【点评】本题考查空间的位置关系可空间二面角的求法，考查运算能力和空间想象能力