四川高考数学真题及答案解析

1.集合 $A = \{ x | - 2 \leq x \leq 2 \}$ ，Z为整数集，则 $A \cap \mathbf { Z }$ 中元素的个数是（A）3 （B）4 （C）5 （D）6

1.设i为虚数单位，则复数 $\left( 1 + i \right) ^ { 2 } =$

2. 设i为虚数单位，则 $( x + i ) ^ { 6 }$ 的展开式中含x⁴的项为（A） $- 1 5 x ^ { 4 }$ （B） $1 5 x ^ { 4 }$ （C） $- 2 0 i x ^ { 4 }$ （D） $2 0 i x ^ { 4 }$

2. 设集合 $A = \{ x | 1 \leq x \leq 5 \}$ ,Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是

3. 抛物线 $y ^ { 2 } = 4 x$ 的焦点坐标是

3. 为了得到函数 $y = \sin ( 2 x - \frac { \pi } { 3 } )$ 的图象，只需把函数 $y = \sin 2 x$ 的图象上所有的点（A）向左平行移动 $\frac { \pi } { 3 }$ 个单位长度 （B）向右平行移动 $\frac { \pi } { 3 }$ 个单位长度（C）向左平行移动 $\frac { \pi } { 6 }$ 个单位长度 （D）向右平行移动 $\frac { \pi } { 6 }$ 个单位长度

4. 用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（A）24 （B）48 （C）60 （D）72

5. 设 p:实数 x，y 满足 x >1且 $y > 1$ ，q: 实数 x，y 满足 $x + y > 2$ ，则 p 是 q 的(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件

6. 已知a 函数 $f ( x ) = x ^ { 3 } - 1 2 x$ 的极小值点，则 $a =$

6. 秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v 的值为

7. 某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12％，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：$lg1.12 =0.05$，$lg1.3=0.11$，$lg2=0.30)$

8. 设 O 为坐标原点，P 是以F为焦点的抛物线 $y ^ { 2 } = 2 p x ( \mathsf { p } > 0 )$ 上任意一点，M是线段PF上的点，且
$\scriptstyle \left| P M \right| = 2 \left| M F \right|$ ,则直线OM的斜率的最大值为（A） $\frac { \sqrt { 3 } } { 3 }$ （B） $\frac { 2 } { 3 }$ （C） $\frac { \sqrt { 2 } } { 2 }$ （D）1

8. 秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入 n，x的值分别为3，2，则输出v的值为

9. 设直线 $l _ { 1 } , \ l _ { 2 }$ 分别是函数 $f ( x ) = \begin{array} { l } { \displaystyle \int - \ln x , 0 < x < 1 , } \\ { \displaystyle \ln x , x > 1 , } \end{array}$ 图象上点 $P _ { 1 } , \ P _ { 2 }$ 处的切线， $l _ { 1 }$ 与 $l _ { 2 }$ 垂直相交于点P，
且 $l _ { 1 } , \ l _ { 2 }$ 分别与y 轴相交于点A，B，则 $\triangle P A B$ 的面积的取值范围是

11. $\cos ^ { 2 } { \frac { \pi } { 8 } } - \sin ^ { 2 } { \frac { \pi } { 8 } } =$ =

12.已知某三菱锥的三视图如图所示，则该三菱锥的体积

正视图

侧视图

俯视图

12. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在 2 次试验中成功次数X的均值是

13. 已知三棱锥的四个面都是腰长为 2 的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是

正视图

14. 已 知 函 数 f x( ) 是 定 义 在 R 上 的 周 期 为 2 的 奇 函 数 ， 当 $0 < x < 1$ 时 ， $f ( x ) = 4 ^ { x }$ ， 则$f ( - \frac { 5 } { 2 } ) + f ( 1 ) =$

14. 已 知 函 数 f x( )是 定 义 在 R 上 的 周 期 为 2 的 奇 函 数 ， 当 $0 < x < 1$ 时 ， $f ( x ) = 4 ^ { x }$ ， 则$f ( - \frac 5 2 ) + f ( 1 ) =$ =

17. （本小题满分 12 分）

在 $\triangle A B C$ 中，角A,B,C所对的边分别是 $^ { a , b , c , }$ 且 ${ \frac { \cos A } { a } } + { \frac { \cos B } { b } } = { \frac { \sin C } { c } }$

（I）证明： $\sin A \sin B = \sin C$

（II）若 $b ^ { 2 } + c ^ { 2 } - a ^ { 2 } = \frac { 6 } { 5 } b c$ ，求 $\tan B$

17、（12 分）

如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PA⊥CD，AD∥BC， $\angle A \mathrm { D C } = \angle \mathrm { P A B } = 9 0 ^ { \circ }$ $B C = C D = { \frac { 1 } { 2 } } A D$

（I）在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，并说明理由；

（II）证明：平面 $\mathrm { P A B \perp }$ 平面 PBD.

18、（本题满分12分）

在 $\triangle A B C$ 中，角A,B,C所对的边分别是 $^ { a , b , c , }$ 且 ${ \frac { \cos A } { a } } + { \frac { \cos B } { b } } = { \frac { \sin C } { c } }$

（I）证明： $\sin A \sin B = \sin C$

（II）若 $b ^ { 2 } + c ^ { 2 } - a ^ { 2 } = \frac { 6 } { 5 } b c$ ，求 tan B .

20、（本小题满分 13 分）

已知椭圆 $E \colon \ \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a > b > 0 )$ 的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点 $P ( \sqrt { 3 } , \frac { 1 } { 2 } )$ 在椭圆 E 上.

(Ⅰ)求椭圆E的方程；

(Ⅱ)设不过原点 O且斜率为 $\boldsymbol { \jmath } _ { \overline { { 2 } } } ^ { 1 } |$ 的直线l与椭圆E交于不同的两点 A，B，线段AB的中点为M，直线 OM与椭圆E交于C，D，证明： $\left| M A \right| \cdot \left| M B \right| = \left| M C \right| \cdot \left| M D \right|$

20. （本小题满分13分）

已知椭圆 $E \colon \ \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a > b > 0 )$ 的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线

l : $y = - x + 3$ 与椭圆 E有且只有一个公共点 T.

（Ⅰ）求椭圆E 的方程及点T的坐标；

（Ⅱ）设O是坐标原点，直线l’平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线l交于点P．证明：存在常数l，使得 $\left| P T \right| ^ { 2 } = \lambda \left| P A \right| \cdot \left| P B \right|$，并求l的值.

3.圆 $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } - 4 x + 6 y = 0$ 的圆心坐标是(A) (2，3) (B) (-2，-3) (C) (-2，- 3) (D)(2，-3)

8.在△ABC 中，sin2A ≤ sin2B+ $\mathrm { s i n ^ { 2 } C - s i n B s i n C }$ ,则A的取值范围是

14.双曲线 $\frac { x ^ { 2 } } { 6 4 } - \frac { y ^ { 2 } } { 3 6 } = 1$ 上一点P到双曲线右焦点的距离是4，那么点P到左准线的距离是

15.如图，半径为 4 的球 O 中有一内接圆柱。当圆柱的面积最大时，球的表面积与圆柱的侧面积之差是

3.复数 $\frac { ( 1 + 2 i ) ^ { 2 } } { 3 - 4 i }$ 的值是