如图，三棱台 D E F-A B C 中，面 A D F…——2020 高考数学第 19 题答案解析

【分析】（ I ）题根据已知条件，作 $D H \perp A C$ ，根据面面垂直，可得 $D H \perp B C$ ，进一步根据直角三角形的知识可判断出 $\triangle B H C$ 是直角三角形，且 $\angle H B C=90^{\circ}$ ，则 $H B \perp B C$ ，从而可证出 $B C \perp$ 面 $D H B$ ，最后根据棱台的定义有 $E F / / B C$ ，根据平行线的性质可得 $E F \perp D B$ ；
（II）题先可设 $B C=1$ ，根据解直角三角形可得 $B H=1, H C=\sqrt{2}, D H=\sqrt{2}, D C=2, D B= \sqrt{3}$ ，然后找到 $C H$ 与面 $D B C$ 的夹角即为 $\angle H C G$ ，根据棱台的特点可知 $D F$ 与面 $D B C$ 所成角与 $C H$ 与面 $D B C$ 的夹角相等，通过计算 $\angle H C G$ 的正弦值，即可得到 $D F$ 与面 $D B C$ 所成角的正弦值。

解：（ I ）证明：作 $D H \perp A C$ ，且交 $A C$ 于点 $H$ ，
∵ 面 $A D F C \perp$ 面 $A B C, D H \subset$ 面 $A D F C, \therefore D H \perp B C$ ，
∴ 在 Rt $\triangle D H C$ 中，$C H=C D \cdot \cos 45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2} C D$ ，
$\because D C=2 B C, \therefore C H=\frac{\sqrt{2}}{2} C D=\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 2 B C=\sqrt{2} \cdot B C$ ，
$\therefore \frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{CH}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，即 $\triangle B H C$ 是直角三角形，且 $\angle H B C=90^{\circ}$ ，
$\therefore H B \perp B C, \therefore B C \perp$ 面 $D H B, \quad \because B D \subset$ 面 $D H B, \quad \therefore B C \perp B D$ ，
∵ 在三棱台 $D E F-A B C$ 中，$E F / / B C, \therefore E F \perp D B$ ．

（II）设 $B C=1$ ，则 $B H=1, H C=\sqrt{2}$ ，
在 Rt $\triangle D H C$ 中，$D H=\sqrt{2}, D C=2$ ，
在 Rt $\triangle D H B$ 中，$D B=\sqrt{\mathrm{DH}^{2}+\mathrm{HB}^{2}}=\sqrt{2+1}=\sqrt{3}$ ，
作 $H G \perp B D$ 于 $G, \because B C \perp H G, \therefore H G \perp$ 面 $B C D, \because G C \subset$ 面 $B C D$ ，
$\therefore H G \perp G C, \therefore \triangle H G C$ 是直角三角形，且 $\angle H G C=90^{\circ}$ ，
设 $D F$ 与面 $D B C$ 所成角为 $\theta$ ，则 $\theta$ 即为 $C H$ 与面 $D B C$ 的夹角，
且 $\sin \theta=\sin \angle H C G=\frac{H G}{H C}=\frac{H G}{\sqrt{2}}$ ，
∵ 在 Rt $\triangle D H B$ 中，$D H \cdot H B=B D \cdot H G$ ，
$\therefore H G=\frac{\mathrm{DH} \cdot \mathrm{HB}}{\mathrm{BD}}=\frac{\sqrt{2} \cdot 1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，
$\therefore \sin \theta=\frac{\mathrm{HG}}{\sqrt{2}}=\frac{\frac{\sqrt{6}}{3}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$ ．