（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD 为矩…——2018 高考数学第 18 题答案解析

【考点】LS：直线与平面平行；LW：直线与平面垂直；LY：平面与平面垂 直

【专题】35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离

【分析】（Ⅰ）由等腰三角形的三线合一性质和矩形的对边平行性质，即可得证；

（Ⅱ）作出平面 PAB 和平面 PCD 的交线，注意运用公理 4，再由面面垂直的性质和两个平面所成角的定义，即可得证；

（Ⅲ）取PC 的中点H，连接DH，FH，运用中位线定理和平行四边形的判断和性质，结合线面平行的判定定理，即可得证

【解答】证明：（Ⅰ）PA=PD，E为AD的中点，

可得 PE⊥AD，

底面 ABCD 为矩形，可得 BC∥AD，

则 PE⊥BC；

（Ⅱ）由于平面 PAB和平面PCD有一个公共点P，

且 AB∥CD，

在平面 PAB 内过 P 作直线 PG∥AB，

可得 PG∥CD，

即有平面 PAB∩平面 PCD=PG，

由平面 PAD⊥平面 ABCD，又 AB⊥AD，

可得 AB⊥平面 PAD，即有 AB⊥PA，

PA⊥PG；

同理可得CD⊥PD，即有 $\mathrm { P D \bot P G }$

可得 ${ \bf \cdot } \angle \mathrm { A P D }$ 为平面PAB和平面PCD的平面角，

由 $\mathrm { P A } \bot \mathrm { P D }$

可得平面 PAB⊥平面 PCD；

（Ⅲ）取PC 的中点H，连接DH，FH，

在三角形PCD中，FH 为中位线，可得FH∥BC，

$$ \mathrm { F H { = } } { \frac { 1 } { 2 } } \mathrm { B C } , $$

由 DE∥BC， $\scriptstyle \mathrm { { D E = } } { \frac { 1 } { 2 } } \mathrm { { B C } }$

可得 DE=FH，DE∥FH，

四边形EFHD为平行四边形，

可得 EF∥DH，

EF⊄平面 PCD，DH⊂平面 PCD，

即有 EF∥平面 PCD

【点评】本题考查线面和面面的位置关系，考查线面平行、垂直的判定和性质，以及面面垂直的判断和性质，注意运用转化思想，考查推理能力和空间想象能力，属于中档题