一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面。已知该六棱柱的…——2008 高考数学第 14 题答案解析

【解答】
（5分）（2008•海南）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为 ${ \sqrt { 3 } } ,$ ，底面周长为3，那么这个球的体积为 $- { \frac { 4 \pi } { 3 } } -$

【考点】球的体积和表面积；棱柱的结构特征

【专题】计算题；综合题；压轴题

【分析】先求正六棱柱的体对角线，就是外接球的直径，然后求出球的体积

【解答】解：∵正六边形周长为3，得边长为 ${ \frac { 1 } { 2 } } ,$ ，故其主对角线为1，从而球的直径

$$ 2 R = \sqrt { ( \sqrt { 3 } ) ^ { 2 } + 1 ^ { 2 } } = 2 $$

∴R=1，

∴球的体积 $v = \frac { 4 } { 3 } \pi$

故答案为： ${ \frac { 4 \pi } { 3 } } .$

【点评】正六棱柱及球的相关知识，易错点：空间想象能力不强，找不出球的直径．空间想象能力是立体几何中的一个重要能力之一，平时要加强培养