（10分）如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线…——2014 高考数学第 22 题答案解析

（Ⅰ）连接 $OA, OE$。
因为 $PA$ 是 $\odot O$ 的切线，所以 $OA \perp PA$，即 $\angle OAP = 90^\circ$。
由此可得 $\angle OAE + \angle PAD = 90^\circ$。
因为 $OA = OE$，所以 $\triangle OAE$ 为等腰三角形，故 $\angle OAE = \angle OEA$。
已知 $PC = 2PA$，且 $D$ 为 $PC$ 的中点，所以 $PD = \frac{1}{2}PC = PA$。
在 $\triangle PAD$ 中，因为 $PA = PD$，所以 $\angle PAD = \angle PDA$。
又因为对顶角相等，$\angle PDA = \angle CDE$，所以 $\angle PAD = \angle CDE$。
综合上述角度关系：
$\angle OEA + \angle CDE = \angle OAE + \angle PAD = 90^\circ$。
在 $\triangle ODE$ 中（设 $OE$ 与 $BC$ 交于点 $M$，或直接看 $\triangle CDE$ 与圆心角关系，此处更严谨的是考察 $OE$ 与弦 $BC$ 的位置关系），
由 $\angle OEA + \angle CDE = 90^\circ$ 可知，若延长 $ED$ 交圆于 $E$，考虑 $\triangle MDE$（$M$ 为 $OE$ 与 $BC$ 交点）的外角或内角和。
更直接地，在 $\triangle CDE$ 所在的局部结构中，由于 $\angle OEA$ 是半径与弦的夹角相关量，我们考察 $OE$ 与 $BC$ 的垂直关系。
令 $OE$ 交 $BC$ 于点 $F$。在 $\triangle DEF$ 中，$\angle EDF = \angle CDE$（对顶角或同角），$\angle DEF = \angle OEA$。
由前述推导 $\angle DEF + \angle EDF = 90^\circ$，故 $\angle DFE = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$。
即 $OE \perp BC$。
根据垂径定理的推论，垂直于弦的直径平分这条弦所对的弧，所以 $E$ 是弧 $BC$ 的中点。
因此，弧 $BE$ 等于弧 $EC$，进而弦长 $BE = EC$。

（）由切割线定理可知，$PA^2 = PB \cdot PC$。
已知 $PC = 2PA$，代入上式得：
$PA^2 = PB \cdot (2PA) \implies PA = 2PB$。
因为 $D$ 是 $PC$ 的中点，且 $PC = 2PA$，所以 $PD = PA$。
结合 $PA = 2PB$，可得 $PD = 2PB$。
观察线段 $P, B, D, C$ 的位置关系：
$BD = PD - PB = 2PB - PB = PB$。
$DC = PC - PD = 2PA - PA = PA = 2PB$。
根据相交弦定理，对于圆内相交于点 $D$ 的弦 $AE$ 和 $BC$，有：
$AD \cdot DE = BD \cdot DC$。
将 $BD$ 和 $DC$ 用 $PB$ 表示代入：
$AD \cdot DE = PB \cdot (2PB) = 2PB^2$。
证毕。