14．如图，$A D$ 与 $B C$ 是四面体 $A B C D$ 中互相垂直的棱，$B C=2$ ，若 $A D=2 c$ ，且 $A B+B D=A C+C D=2 a$ ，其中 $a , c$ 为常数，则四面体 $A B C D$ 的体积的最大值是 $\_\_\_\_$ ．
参考答案
$\frac{2}{3} c \sqrt{a^{2}-c^{2}-1}$
如图， A D 与 B C 是四面体 A B C D 中互…——2012 高考数学第 14 题答案解析
2012_上海卷 (2012·理)
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【答案】 $\frac{2}{3} c \sqrt{a^{2}-c^{2}-1}$
【解析】据题 $A B+B D=A C+C D=2 a$ ，也就是说，线段 $A B+B D$ 与线段 $A C+A C D$ 的长度
是定值，因为棱 $A D$ 与棱 $B C$ 互相垂直，当 $B C \perp$ 平面 $A B D$ 时，此时有最大值，此时最大值为
$: \frac{2}{3} c \sqrt{a^{2}-c^{2}-1}$.
【点评】本题主要考查空间四面体的体积公式、空间中点线面的关系。本题主要考虑根据已知条件构造体积表达式，这是解决问题的关键，本题综合性强，运算量较大．属于中高档试题．
✅ 来源：2012年 · 上海 · 2012_上海卷 (2012·理) · 第 14 题 · 本题已通过全部自动发布校验
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