2012 上海卷 · 理 数学

计算：$\frac{3-\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}=$ $\_\_\_\_$ （ $i$ 为虚数单位）．

若集合 $A=\{x \mid 2 x+1>0\}, B=\{x \| x-1 \mid<2\}$ ，则 $A \cap B=$ $\_\_\_\_$ ．

函数 $f(x)=\left|\begin{array}{lc}2 & \cos x \\ \sin x & -1\end{array}\right|$ 的值域是 $\_\_\_\_$ ．

若 $\vec{n}=(-2,1)$ 是直线 $l$ 的一个法向量，则 $l$ 的倾斜角的大小为 $\_\_\_\_$
（结果用反三角函数值表示）．

在 $\left(x-\frac{2}{x}\right)^{6}$ 的二项展开式中，常数项等于 $\_\_\_\_$ ．

有一列正方体，棱长组成以 1 为首项、 $\frac{1}{2}$ 为公比的等比数列，体积分别记为 $V_{1}, V_{2}, \cdots, V_{n}, \cdots$ ，则 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(V_{1}+V_{2}+\cdots+V_{n}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．

已知函数 $f(x)=e^{|x-a|}$（ $a$ 为常数）．若 $f(x)$ 在区间 $[1,+\infty)$ 上是增函数，则 $a$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$

若一个圆锥的侧面展开图是面积为 $2 \pi$ 的半圆面，则该圆锥的体积为 $\_\_\_\_$ ．

已知 $y=f(x)+x^{2}$ 是奇函数，且 $f(1)=1$ ，若 $g(x)=f(x)+2$ ，则 $g(-1)=$ $\_\_\_\_$ ．

如图，在极坐标系中，过点 $M(2,0)$ 的直线 $l$ 与极轴的夹角 $\alpha=\frac{\pi}{6}$ ，若将 $l$ 的极坐标方程写成 $\rho=f(\theta)$ 的形式，则 $f(\theta)=$ $\_\_\_\_$ ．

三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是 $\_\_\_\_$ （结果用最简分数表示）。

在平行四边形 $A B C D$ 中，$\angle A=\frac{\pi}{3}$ ，边 $A B , A D$ 的长分别为 $2 , 1$ ，若 $M , N$ 分别是边 $B C , C D$ 上的点，且满足 $\frac{|\overrightarrow{B M}|}{|\overrightarrow{B C}|}=\frac{|\overrightarrow{C N}|}{|\overrightarrow{C D}|}$ ，则 $\overrightarrow{A M} \cdot \overrightarrow{A N}$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$ ．

已知函数 $y=f(x)$ 的图象是折线段 $A B C$ ，其中 $A(0,0) , B\left(\frac{1}{2}, 5\right) , C(1,0)$ ，函数 $y=x f(x)(0 \leq x \leq 1)$ 的图象与 $x$ 轴围成的图形的面积为 $\_\_\_\_$ ．

如图，$A D$ 与 $B C$ 是四面体 $A B C D$ 中互相垂直的棱，$B C=2$ ，若 $A D=2 c$ ，且 $A B+B D=A C+C D=2 a$ ，其中 $a , c$ 为常数，则四面体 $A B C D$ 的体积的最大值是 $\_\_\_\_$ ．

若 $1+\sqrt{2} i$ 是关于 $x$ 的实系数方程 $x^{2}+b x+c=0$ 的一个复数根，则（

在 $\triangle A B C$ 中，若 $\sin ^{2} A+\sin ^{2} B<\sin ^{2} C$ ，则 $\triangle A B C$ 的形状是（ ）

设 $10 \leq x_{1}<x_{2}<x_{3}<x_{4} \leq 10^{4}, x_{5}=10^{5}$ ，随机变量 $\xi_{1}$ 取值 $x_{1} , x_{2} , x_{3} , x_{4} , x_{5}$ 的概率均为 0.2 ，随机变量 $\xi_{2}$ 取值 $\frac{x_{1}+x_{2}}{2} , \frac{x_{2}+x_{3}}{2} , \frac{x_{3}+x_{4}}{2} , \frac{x_{4}+x_{5}}{2} , \frac{x_{5}+x_{1}}{2}$ 的概率也均为 0.2 ，若记 $D \xi_{1} , D \xi_{2}$ 分别为 $\xi_{1} , \xi_{2}$ 的方差，则（ ）

设 $a_{n}=\frac{1}{n} \sin \frac{n \pi}{25}, S_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}$ ，在 $S_{1}, S_{2}, \cdots, S_{100}$ 中，正数的个数是（ ）