（5分）若a，b∈R， a b 0，则 a ^ 4 + 4…——2017 高考数学第 13 题答案解析

【解答】
（5分）（2017•天津）若a，b∈R， $\mathsf { a b } { \mathsf { \Sigma } } { \mathsf { 0 } }$ ，则 $\frac { a ^ { 4 } + 4 b ^ { 4 } + 1 } { a b }$ 的最小值为　4

**方法一**：两次利用基本不等式，即可求出最小值，需要注意不等式等号成立的条件是什么

**方法二**：将 $\frac { 1 } { \mathsf { a b } }$ 拆成 $\frac { 1 } { 2 \mathsf { a b } } + \frac { 1 } { 2 \mathsf { a b } }$ ，利用柯西不等式求出最小值

【解答】解：【解法一】a，b∈R，ab＞0，

$$ \therefore \frac { a ^ { 4 } + 4 b ^ { 4 } + 1 } { a b } \geq \frac { 2 \sqrt { a ^ { 4 } - 4 b ^ { 4 } } + 1 } { a b } $$

$$ = \frac { 4 a ^ { 2 } b ^ { 2 } + 1 } { a b } $$

$$ = 4 a b + \frac { 1 } { a b } \geq 2 \sqrt { 4 a b - \frac { 1 } { a b } } = 4 , $$

当且仅当 $\left\{ \begin{array} { l } { { \tt a } ^ { \tt d } = { 4 6 } ^ { \tt d } } \\ { \tt { 4 } { \tt a } { \tt b } = \frac { 1 } { { \tt a } { \tt b } } ^ { \tt d } } \end{array} \right. ,$

即 $\left\{ \begin{array} { l } { { \tt a } ^ { 2 } { = } 2 { \tt b } ^ { 2 } } \\ { { \tt a } ^ { 2 } { \tt b } ^ { 2 } { = } \frac { 1 } { 4 } } \end{array} , \right.$

即 $a = \frac { 1 } { \sqrt [ 4 ] { 2 } } , b = \frac { 1 } { \sqrt [ 4 ] { 8 } } , \frac { \sqrt [ 5 ] { 8 } } { \sqrt [ 4 ] { 8 } } a = - \frac { 1 } { \sqrt [ 4 ] { 2 } } , b = - \frac { 1 } { \sqrt [ 4 ] { 8 } }$ 时取 $" = "$ ；

$\therefore$ 上式的最小值为4

【解法二】a， $\mathsf { b } \in \mathsf { R } , \mathsf { a b } > 0$

$$ \therefore \frac { a ^ { 4 } + 4 \mathrm { b } ^ { 4 } + 1 } { \mathrm { a b } } = \frac { a ^ { 3 } } { \mathrm { b } } + \frac { 4 \mathrm { b } ^ { 3 } } { \mathrm { a } } + \frac { 1 } { 2 \mathrm { a b } } + \frac { 1 } { 2 \mathrm { a b } } \geq 4 \sqrt { \frac { \mathrm { a } ^ { 3 } } { \mathrm { b } } } \cdot \frac { 4 \mathrm { b } ^ { 3 } } { \mathrm { a } } \cdot \frac { 1 } { 2 \mathrm { a b } } \cdot \frac { 1 } { 2 \mathrm { a b } } = 4 , $$

当且仅当 $\left\{ \begin{array} { l } { { \tt a } ^ { \tt d } = { 4 6 } ^ { \tt d } } \\ { \tt { 4 } { \tt a } { \tt b } = \frac { 1 } { { \tt a } { \tt b } } ^ { \tt d } } \end{array} \right. ,$

即 $\left\{ \begin{array} { l } { { \tt a } ^ { 2 } { = } 2 { \tt b } ^ { 2 } } \\ { { \tt a } ^ { 2 } { \tt b } ^ { 2 } { = } \frac { 1 } { 4 } } \end{array} , \right.$

即 $a = \frac { 1 } { \sqrt [ 4 ] { 2 } } , b = \frac { 1 } { \sqrt [ 4 ] { 8 } } \equiv \dot { \zeta } \equiv a = - \frac { 1 } { \sqrt [ 4 ] { 2 } } , b = - \frac { 1 } { \sqrt [ 4 ] { 8 } }$ 时取 $" = "$ ；

$\therefore$ 上式的最小值为4

故答案为：4

【点评】本题考查了基本不等式的应用问题，是中档题