（13分）已知函数 ~ f ~ ( ~ x ~ ) = s…——2018 高考数学第 16 题答案解析

【考点】GP：两角和与差的三角函数；H1：三角函数的周期性；HW：三角函数的最值

【专题】35：转化思想；48：分析法；57：三角函数的图像与性质

【分析】（I）运用二倍角公式的降幂公式和两角差的正弦公式和周期公式，即可得到所求值；

（Ⅱ）求得 $2 \mathrm { x } - { \frac { \pi } { 6 } }$ 的范围，结合正弦函数的图象可得 $2 \mathrm { m } - \frac { \pi } { 6 } { \geq } \frac { \pi } { 2 }$ ，即可得到所求最小值

【解答】解：（I）函数 $\mathbf { f } \ \left( \mathbf { x } \right) \ { = } { \sin } ^ { 2 } \mathbf { x } { + } { \sqrt { 3 } } { \mathrm { s i n x } } { \cos } { \mathbf { x } } { = } { \frac { 1 { - } { \cos } { 2 } \mathbf { x } } { 2 } } { + } { \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } } { \sin } { 2 } \mathbf { x }$

$$ = \sin ( 2 x - \frac { \pi } { 6 } ) + \frac { 1 } { 2 } $$

f（x）的最小正周期为 $\scriptstyle \mathrm { T = } { \frac { 2 \pi } { 2 } } = \pi$

（Ⅱ）若 f（x）在区间[ $- \frac { \pi } { 3 }$ ，m]上的最大值为 $\frac { 3 } { 2 }$ ，

可得 $2 \times - \frac { \pi } { 6 } \in [ - \frac { 5 \pi } { 6 } , ~ 2 \pi - \frac { \pi } { 6 } ]$

即有 $2 \mathrm { m } - \frac { \pi } { 6 } { \geq } \frac { \pi } { 2 }$ ，解得 $\mathrm { m } { \geq } \frac { \pi } { 3 }$

则 m 的最小值为 $\frac { \pi } { 3 }$

【点评】本题考查三角函数的化简和求值，注意运用二倍角公式和三角函数的周期公式、最值，考查运算能力，属于中档题