[选修4-5：不等式选讲] 已知 f ( x ) = x…——2019 高考数学第 23 题答案解析

【答案】（1）( ,1)-¥ ；② $[ 1 , + \infty )$

【解析】

【分析】

（1）根据a =1，将原不等式化为 $x - 1 \mid x + \mid x - 2 \mid ( x - 1 ) < 0$ ，分别讨论x<1， $1 \leq x < 2$ $x \ge 2$ 三种情况，即可求出结果；

（2）分别讨论 $a \geqslant 1$ 和a <1两种情况，即可得出结果.

【详解】①当a =1时，原不等式可化为 $x - 1 \mid x + \mid x - 2 \mid ( x - 1 ) < 0$

当x<1时，原不等式可化为 $( 1 - x ) x + ( 2 - x ) ( x - 1 ) < 0$ ，即 $\left( x - 1 \right) ^ { 2 } > 0$ ，显然成立，

此时解集为( ,1)-¥ ；

当 $1 \leq x < 2$ 时，原不等式可化为 $( x - 1 ) x + ( 2 - x ) ( x - 1 ) < 0$ ，解得x<1，此时解集为空集；

$$ x \ge 2 $$

$$ ( x - 1 ) x + ( x - 2 ) ( x - 1 ) < 0 $$

$$ \left( x - 1 \right) ^ { 2 } < 0 $$

此时解集为空集；

综上，原不等式的解集为( ,1)-¥ ；

> ②当 $a \geqslant 1$ 时，因为 $x \in ( - \infty , 1 )$ ，所以由 $f ( x ) < 0$ 可得 $( a - x ) x + ( 2 - x ) ( x - a ) < 0$ 即 $( x - a ) ( x - 1 ) > 0$ ，显然恒成立；所以 $a \geqslant 1$ 满足题意；

当 $a < 1$ 时， $f ( x ) = { \left\{ \begin{array} { l l } { 2 ( x - a ) , a \leq x < 1 } \\ { 2 ( x - a ) ( 1 - x ) , x < a } \end{array} \right. }$ ，因为 $a \leq x < 1$ 时，

$f ( x ) < 0$ 显然不能成立，所以 $a < 1$ 不满足题意；

综上，a的取值范围是 $[ 1 , + \infty )$ .

【点睛】本题主要考查含绝对值的不等式，熟记分类讨论的方法求解即可，属于常考题型.