平面向量 a , b 共线的充要条件是——2008 高考数学第 9 题答案解析

【解答】
（5分）（2008•海南）平面向量 $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ ， $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ 共线的充要条件是（）
A．$\vec{a}, \vec{b}$ 方向相同
B． $\overrightarrow{\mathrm{a}}, \overrightarrow{\mathrm{b}}$ 两向量中至少有一个为零向量
C．$\exists \lambda \in R, \vec{b}=\lambda \vec{a}$
D．存在不全为零的实数 $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{1} \vec{a}+\lambda{ }_{2} \vec{b}=\overrightarrow{0}$
【考点】向量的共线定理；必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】根据向量共线定理，即非零向量 $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ 与向量 $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ 共线的充要条件是必存在唯一实数 $\lambda$ 使得 $\vec{b}=\lambda \vec{a}$ 成立，即可得到答案。

【解答】解：若 $\vec{a}, \vec{b}$ 均为零向量，则显然符合题意，且存在不全为零的实数 $\lambda_{1}, \lambda_{2}$ ，使得 $\lambda_{1} \vec{a}+\lambda{ }_{2} \vec{b}=\overrightarrow{0} ;$

若 $\overrightarrow{\mathrm{a}} \neq \overrightarrow{0}$ ，则由两向量共线知，存在 $\lambda \neq 0$ ，使得 $\overrightarrow{\mathrm{b}}=\lambda \overrightarrow{\mathrm{a}}$ ，

即 $\lambda \vec{a}-\vec{b}=\overrightarrow{0}$ ，符合题意，
故选D．
【点评】本题主要考查向量共线及充要条件等知识．在解决很多问题时考虑问题必须要全面，除了考虑一般性外，还要注意特殊情况是否成立。