（13 分）如图，在 A B C 中， B= π 3 ,…——2014 高考数学第 15 题答案解析

【考点】HR：余弦定理．
【专题】58：解三角形．
【分析】根据三角形边角之间的关系，结合正弦定理和余弦定理即可得到结论．
【解答】解：（1）在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中，$\because \cos \angle \mathrm{ADC}=\frac{1}{7}$ ，
$\therefore \sin \angle \mathrm{ADC}=\sqrt{1-\cos ^{2} \angle \mathrm{ADC}}=\sqrt{1-\left(\frac{1}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{48}{49}}=\frac{4 \sqrt{3}}{7}$ ，
则 $\sin \angle \mathrm{BAD}=\sin (\angle \mathrm{ADC}-\angle \mathrm{B})=\sin \angle \mathrm{ADC} \cdot \cos \mathrm{B}-\cos \angle \mathrm{ADC} \cdot \sin \mathrm{B}=\frac{4 \sqrt{3}}{7} \times \frac{1}{2}-$

$\frac{1}{7} \times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3 \sqrt{3}}{14}$.
（2）在 $\triangle \mathrm{ABD}$ 中，由正弦定理得 $\mathrm{BD}=\frac{\mathrm{AB} \cdot \sin \angle \mathrm{BAD}}{\sin \angle \mathrm{ADB}}=\frac{8 \times \frac{3 \sqrt{3}}{14}}{\frac{4 \sqrt{3}}{7}}=3$ ，
在 $\triangle A B C$ 中，由余弦定理得 $A C^{2}=A B^{2}+C B^{2}-2 A B \cdot B C \cos B=8^{2}+5^{2}-2 \times 8 \times 5 \times \frac{1}{2}=49$ ，即 $\mathrm{AC}=7$ 。

【点评】本题主要考查解三角形的应用，根据正弦定理和余弦定理是解决本题本题的关键，难度不大。