2014 北京卷 · 理 数学

（5 分）已知集合 $A=\left\{x \mid x^{2}-2 x=0\right\}, B=\{0,1,2\}$ ，则 $A \cap B=$（）

（5 分）下列函数中，在区间 $(0,+\infty)$ 上为增函数的是（）

（5 分）曲线 $\left\{\begin{array}{l}x=-1+\cos \theta \\ y=2+\sin \theta\end{array}\right.$（ $\theta$ 为参数）的对称中心（）

（5 分）当 $m=7, n=3$ 时，执行如图所示的程序框图，输出的 $S$ 的值为（）

（5 分）设 $\left\{a_{n}\right\}$ 是公比为 $q$ 的等比数列，则＂$q>1$＂是＂$\left\{a_{n}\right\}$ 为递增数列＂的

（5 分）若 $x, y$ 满足 $\left\{\begin{array}{l}x+y-2 \geqslant 0 \\ k x-y+2 \geqslant 0 \\ y \geqslant 0\end{array}\right.$ ，且 $z=y-x$ 的最小值为 -4 ，则 $k$ 的值为（

（5 分）在空间直角坐标系 Oxyz 中，已知 $A(2,0,0), B(2,2,0), C (0,2,0), D(1,1, \sqrt{2})$ ，若 $S_{1}, S_{2}, S_{3}$ 分别表示三棱锥 D－ABC 在 $x O y$ ， $\mathrm{yOz}, ~ \mathrm{zOx}$ 坐标平面上的正投影图形的面积，则（）

（5分）学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为＂优秀＂＂合格＂＂不合格＂．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称＂学生甲比学生乙成绩好＂。如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，

则这一组学生最多有

（ 5 分）复数 $\left(\frac{1+\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}}\right)^{2}=$ $\_\_\_\_$ －1。

（5 分）已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}|=1, \vec{b}=(2,1)$ ，且 $\lambda \vec{a}+\vec{b}=\overrightarrow{0}(\lambda \in R)$ ，则 $|\lambda|=$ 근

（5 分）设双曲线 C 经过点 $(2,2)$ ，且与 $\frac{y^{2}}{4}-x^{2}=1$ 具有相同渐近线，则 C的方程为 $-\frac{x^{2}}{3}-\frac{y^{2}}{12}=1$ —；渐近线方程为 $\underline{y= \pm 2 x}$ ．

（5 分）若等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{7}+a_{8}+a_{9}>0, a_{7}+a_{10}<0$ ，则当 $n=$ $\_\_\_\_$ 8时，$\left\{a_{n}\right\}$的前 $n$ 项和最大。

（5 分）把 5 件不同产品摆成一排，若产品 A 与产品 B 相邻，且产品 A 与产

品 C 不相邻，则不同的摆法有 $\_\_\_\_$ 36种。

（5 分）设函数 $f(x)=A \sin (\omega x+\phi)(A, \omega, \phi$ 是常数，$A>0, \omega>0)$ 若 $f$ （x）在区间 $\left[\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}\right]$ 上具有单调性，且 $f\left(\frac{\pi}{2}\right)=f\left(\frac{2 \pi}{3}\right)=-f\left(\frac{\pi}{6}\right)$ ，则 $f(x)$ 的最小正周期为 $\_\_\_\_$ $\pi$。

（13 分）李明在 10 场篮球比赛中的投篮情况统计如下（假设各场比赛相互独立）；
<table border="1" cellpadding="5" cellspacing="0">
<tr><td>场次</td><td>投篮次数</td><td>命中次数</td><td>场次</td><td>投篮次数</td><td>命中次数</td></tr>
<tr><td>主场 1</td><td>22</td><td>12</td><td>客场 1</td><td>18</td><td>8</td></tr>
<tr><td>主场 2</td><td>15</td><td>12</td><td>客场 2</td><td>13</td><td>12</td></tr>
<tr><td>主场 3</td><td>12</td><td>8</td><td>客场 3</td><td>21</td><td>7</td></tr>
<tr><td>主场 4</td><td>23</td><td>8</td><td>客场 4</td><td>18</td><td>15</td></tr>
<tr><td>主场 5</td><td>24</td><td>20</td><td>客场 5</td><td>25</td><td>12</td></tr>
</table>
（1）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过 0.6 的概率；
（2）从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过 0.6，一场不超过 0.6 的概率；
（3）记 $\overline{x}$ 是表中 10 个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记 $X$ 为李明在这场比赛中的命中次数，比较 $E X$ 与 $\overline{x}$ 的大小（只需写出结论）．

（13分）对于数对序列P： （a1，b1） ， （a2，b2） ，…， （an，bn） ，记T1（P）
=a1+b1，Tk（P）=bk+max{Tk﹣1（P） ，a1+a2+…+a k}（2≤k≤n） ，其中max{Tk﹣1
（P） ，a1+a2+…+a k}表示T k﹣1（P）和a 1+a2+…+a k 两个数中最大的数，
（Ⅰ）对于数对序列P： （2，5） ， （4，1） ，求T1（P） ，T2（P）的值；
（Ⅱ）记m为a，b，c，d四个数中最小的数，对于由两个数对（a，b） ， （c，
d）组成的数对序列P： （a，b） ， （c，d）和P′： （c，d） ， （a，b） ，试分别对
$m=a$和$m=d$两种情况比较T 2（P）和T 2（P′）的大小；
（Ⅲ）在由五个数对（11，8） ， （5，2） ， （16，11） ， （11，11） ， （4，6）组成的
所有数对序列中，写出一个数对序列P使T 5（P）最小，并写出T 5（P）的值
（只需写出结论） ．