2014 北京卷 · 理 数学　·　真题与答案解析

1．（5 分）已知集合 $A=\left\{x \mid x^{2}-2 x=0\right\}, B=\{0,1,2\}$ ，则 $A \cap B=$（）

2．（5 分）下列函数中，在区间 $(0,+\infty)$ 上为增函数的是（）

3．（5 分）曲线 $\left\{\begin{array}{l}x=-1+\cos \theta \\ y=2+\sin \theta\end{array}\right.$（ $\theta$ 为参数）的对称中心（）

4．（5 分）当 $m=7, n=3$ 时，执行如图所示的程序框图，输出的 $S$ 的值为（） 

5．（5 分）设 $\left\{a_{n}\right\}$ 是公比为 $q$ 的等比数列，则＂$q>1$＂是＂$\left\{a_{n}\right\}$ 为递增数列＂的

6．（5 分）若 $x, y$ 满足 $\left\{\begin{array}{l}x+y-2 \geqslant 0 \\ k x-y+2 \geqslant 0 \\ y \geqslant 0\end{array}\right.$ ，且 $z=y-x$ 的最小值为 -4 ，则 $k$ 的值为（

7．（5 分）在空间直角坐标系 Oxyz 中，已知 $A(2,0,0), B(2,2,0), C (0,2,0), D(1,1, \sqrt{2})$ ，若 $S_{1}, S_{2}, S_{3}$ 分别表示三棱锥 D－ABC 在 $x O y$ ， $\mathrm{yOz}, ~ \mathrm{zOx}$ 坐标平面上的正投影图形的面积，则（）

8．（5分）学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为＂优秀＂＂合格＂＂不合格＂．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称＂学生甲比学生乙成绩好＂。如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生， 则这一组学生最多有

9．（ 5 分）复数 $\left(\frac{1+\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}}\right)^{2}=$ $\_\_\_\_$ －1。

10．（5 分）已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}|=1, \vec{b}=(2,1)$ ，且 $\lambda \vec{a}+\vec{b}=\overrightarrow{0}(\lambda \in R)$ ，则 $|\lambda|=$ 근

11．（5 分）设双曲线 C 经过点 $(2,2)$ ，且与 $\frac{y^{2}}{4}-x^{2}=1$ 具有相同渐近线，则 C的方程为 $-\frac{x^{2}}{3}-\frac{y^{2}}{12}=1$ —；渐近线方程为 $\underline{y= \pm 2 x}$ ．

12．（5 分）若等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{7}+a_{8}+a_{9}>0, a_{7}+a_{10}<0$ ，则当 $n=$ $\_\_\_\_$ 8时，$\left\{a_{n}\right\}$的前 $n$ 项和最大。

13．（5 分）把 5 件不同产品摆成一排，若产品 A 与产品 B 相邻，且产品 A 与产 品 C 不相邻，则不同的摆法有 $\_\_\_\_$ 36种。

14．（5 分）设函数 $f(x)=A \sin (\omega x+\phi)(A, \omega, \phi$ 是常数，$A>0, \omega>0)$ 若 $f$ （x）在区间 $\left[\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}\right]$ 上具有单调性，且 $f\left(\frac{\pi}{2}\right)=f\left(\frac{2 \pi}{3}\right)=-f\left(\frac{\pi}{6}\right)$ ，则 $f(x)$ 的最小正周期为 $\_\_\_\_$ $\pi$。

15．（13 分）如图，在 $\triangle A B C$ 中，$\angle B=\frac{\pi}{3}, A B=8$ ，点 $D$ 在边 $B C$ 上，且 $C D=2$ ， $\cos \angle \mathrm{ADC}=\frac{1}{7}$. （1）求 $\sin \angle \mathrm{BAD}$ ； （2）求 $\mathrm{BD}, \mathrm{AC}$ 的长． 

16．（13 分）李明在 10 场篮球比赛中的投篮情况统计如下（假设各场比赛相互独立）； | 场次 | 投篮次数 | 命中次数 | 场次 | 投篮次数 | 命中次数 | | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | | 主场 1 | 22 | 12 | 客场 1 | 18 | 8 | | 主场2 | 15 | 12 | 客场2 | 13 | 12 | | 主场3 | 12 | 8 | 客场3 | 21 | 7 | | 主场4 | 23 | 8 | 客场 4 | 18 | 15 | | 主场5 | 24 | 20 | 客场5 | 25 | 12 | （1）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过 0.6 的概率； （2）从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过 0.6 ，一场不超过 0.6 的概率； （3）记 $\overline{\mathrm{x}}$ 是表中 10 个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记 x 为李明在这场比赛中的命中次数，比较 EX 与 $\overline{\mathrm{x}}$ 的大小（只需写出结论）。

17．（14分）如图，正方形 AMDE 的边长为 $2, \mathrm{~B}, \mathrm{C}$ 分别为 $\mathrm{AM}, \mathrm{MD}$ 的中点，在五棱锥 $P-A B C D E$ 中，$F$ 为棱 $P E$ 的中点，平面 $A B F$ 与棱 $P D, P C$ 分别交于点 G，H． （1）求证： $\mathrm{AB} / / \mathrm{FG}$ ； （2）若 $P A \perp$ 底面 $A B C D E$ ，且 $P A=A E$ ，求直线 $B C$ 与平面 $A B F$ 所成角的大小，并求线段 PH 的长． 

18．（13 分）已知函数 $f(x)=x \cos x-\sin x, x \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ （1）求证：$f(x) \leqslant 0$ ； （2）若 $a<\frac{\sin x}{x}<b$ 对 $x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 上恒成立，求 $a$ 的最大值与 $b$ 的最小值．

19．（14 分）已知椭圆 $\mathrm{C}: x^{2}+2 y^{2}=4$ ， （1）求椭圆 C 的离心率 ②设 $O$ 为原点，若点 $A$ 在椭圆 $C$ 上，点 $B$ 在直线 $y=2$ 上，且 $O A \perp O B$ ，求直线 $A B$ 与圆 $x^{2}+y^{2}=2$ 的位置关系，并证明你的结论．

20．（13分）对于数对序列 $\mathrm{P}:\left(\mathrm{a}_{1}, \mathrm{~b}_{1}\right),\left(\mathrm{a}_{2}, \mathrm{~b}_{2}\right), \ldots,\left(\mathrm{a}_{\mathrm{n}}, \mathrm{b}_{\mathrm{n}}\right)$ ，记 $\mathrm{T}_{1}(\mathrm{P}) =a_{1}+b_{1}, T_{k}(P)=b_{k}+\max \left\{T_{k-1}(P), a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{k}\right\} \quad(2 \leqslant k \leqslant n)$ ，其中 $\max \left\{T_{k-1}\right.$ （P），$\left.a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{k}\right\}$ 表示 $T_{k-1}$（P）和 $a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{k}$ 两个数中最大的数， （I）对于数对序列 $\mathrm{P}:(2,5),(4,1)$ ，求 $\mathrm{T}_{1}(\mathrm{P}), \mathrm{T}_{2}(\mathrm{P})$ 的值； （II）记 $m$ 为 $a, b, c, d$ 四个数中最小的数，对于由两个数对（ $a, b), ~(c$ ， d）组成的数对序列 $\mathrm{P}:(\mathrm{a}, \mathrm{b}),(\mathrm{c}, \mathrm{d})$ 和 $\mathrm{P}^{\prime}:(\mathrm{c}, \mathrm{d}),(\mathrm{a}, \mathrm{b})$ ，试分别对 $m=a$ 和 $m=d$ 两种情况比较 $T_{2}(P)$ 和 $T_{2}\left(P^{\prime}\right)$ 的大小； （III）在由五个数对 $(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)$ 组成的所有数对序列中，写出一个数对序列 P 使 $\mathrm{T}_{5}(\mathrm{P})$ 最小，并写出 $\mathrm{T}_{5}(\mathrm{P})$ 的值 （只需写出结论）。