（5分）在平面四边形 A B C D 中， A= B= C…——2015 高考数学第 16 题答案解析

【考点】HT：三角形中的几何计算．
【专题】15：综合题；2：创新题型；58：解三角形．
【分析】如图所示，延长 $\mathrm{BA}, \mathrm{CD}$ 交于点 E ，设 $\mathrm{AD}=\frac{1}{2} \mathrm{x}, \mathrm{AE}=\frac{\sqrt{2}}{2} \mathrm{x}, \mathrm{DE}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \mathrm{x}$ ， $C D=m$ ，求出 $\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} x+m=\sqrt{6}+\sqrt{2}$ ，即可求出 $A B$ 的取值范围．
【解答】解：方法一：
如图所示，延长 BA ， CD 交于点 E ，则
在 $\triangle \mathrm{ADE}$ 中，$\angle \mathrm{DAE}=105^{\circ}, \angle \mathrm{ADE}=45^{\circ}, \angle \mathrm{E}=30^{\circ}$ ，
∴ 设 $\mathrm{AD}=\frac{1}{2} \mathrm{x}, \mathrm{AE}=\frac{\sqrt{2}}{2} \mathrm{x}, \mathrm{DE}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \mathrm{x}, \mathrm{CD}=\mathrm{m}$ ，
$\because B C=2$ ，
$\therefore\left(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} x+m\right) \sin 15^{\circ}=1$ ，
$\therefore \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} x+m=\sqrt{6}+\sqrt{2}$ ，

$\therefore 0<\mathrm{x}<4$ ，
而 $A B=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} x+m-\frac{\sqrt{2}}{2} x=\sqrt{6}+\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2} x$ ，
$\therefore \mathrm{AB}$ 的取值范围是 $(\sqrt{6}-\sqrt{2}, ~ \sqrt{6}+\sqrt{2})$ ．
故答案为：$(\sqrt{6}-\sqrt{2}, \sqrt{6}+\sqrt{2})$ ．

**方法二**：
如下图，作出底边 $\mathrm{BC}=2$ 的等腰三角形 $\mathrm{EBC}, \mathrm{B}=\mathrm{C}=75^{\circ}$ ，

倾斜角为 $150^{\circ}$ 的直线在平面内移动，分别交 $E B$ 、 $E C$ 于 $A$ 、 $D$ ，则四边形 $A B C D$ 即为满足题意的四边形；

当直线移动时，运用极限思想，
（1）直线接近点 C 时， AB 趋近最小，为 $\sqrt{6}-\sqrt{2}$ ；
（2）直线接近点 E 时， AB 趋近最大值，为 $\sqrt{6}+\sqrt{2}$ ；
故答案为：$(\sqrt{6}-\sqrt{2}, \sqrt{6}+\sqrt{2})$ ．

【点评】本题考查求 $A B$ 的取值范围，考查三角形中的几何计算，考查学生的计算能力，属于中档题．