2015 新课标 I 卷 · 理 数学　·　真题与答案解析

1．（5分）设复数 $z$ 满足 $\frac{1+z}{1-z}=i$ ，则 $|z|=$（ ）

2．（5分） $\sin 20^{\circ} \cos 10^{\circ}-\cos 160^{\circ} \sin 10^{\circ}=$

3．（5分）设命题 $\mathrm{p}: ~ \exists \mathrm{n} \in \mathrm{N}, \mathrm{n}^{2}>2^{\mathrm{n}}$ ，则 7 p 为

4．（5分）投篮测试中，每人投 3 次，至少投中 2 次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为 0.6 ，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ）

5．（5分）已知 $M\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 是双曲线 $C: \frac{x^{2}}{2}-y^{2}=1$ 上的一点，$F_{1}, F_{2}$ 是 $C$ 的左、右两个焦点，若 $\overrightarrow{M F_{1}} \cdot \overrightarrow{M F_{2}}<0$ ，则 $y_{0}$ 的取值范围是（）

6．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：＂今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问：积及为米几何？＂其意思为：＂在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？＂已知1斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3 ，估算出堆放的米约有

7．（5分）设 D 为 $\triangle \mathrm{ABC}$ 所在平面内一点， $\overrightarrow{\mathrm{BC}}=3 \overrightarrow{\mathrm{CD}}$ ，则（）

8．（5分）函数 $f(x)=\cos (\omega x+\phi)$ 的部分图象如图所示，则 $f(x)$ 的单调递减区间为

9．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的 $\mathrm{t}=0.01$ ，则输出的 $\mathrm{n}=$（

10．（5分）$\left(x^{2}+x+y\right)^{5}$ 的展开式中，$x^{5} y^{2}$ 的系数为（ ）

11．（5分）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为 $r$ ）组成一个几何体 ，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为 16 $+20 \pi$ ，则 $\mathrm{r}=$（ ）

正视图

俯视图

12．（5分）设函数 $f(x)=e^{x}(2 x-1)-a x+a$ ，其中 $a<1$ ，若存在唯一的整数 $x$

0 使得 $f\left(x_{0}\right)<0$ ，则 $a$ 的取值范围是（ ）

13．（5分）若函数 $f(x)=x \ln \left(x+\sqrt{a+x^{2}}\right)$ 为偶函数，则 $a=1$ ．

14．（5分）一个圆经过椭圆 $\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{4}=1$ 的三个顶点．且圆心在 $x$ 轴的正半轴上．则该圆标准方程为 $-\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}+y^{2}=\frac{25}{4}$ ．

15．（5分）若 $x$ ，$y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}x-1 \geqslant 0 \\ x-y \leqslant 0 \\ x+y-4 \leqslant 0\end{array}\right.$ ．则 $\frac{y}{x}$ 的最大值为 $\_\_\_\_$ 3 ．

16．（5分）在平面四边形 $A B C D$ 中，$\angle A=\angle B=\angle C=75^{\circ} . B C=2$ ，则 $A B$ 的取值范围是
$\_\_\_\_$ $(\sqrt{6}-\sqrt{2}, \sqrt{6}+\sqrt{2})$. ．

17．（12分） $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}$ 为数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的前 n 项和，已知 $\mathrm{a}_{\mathrm{n}}>0, \mathrm{a}_{\mathrm{n}}{ }^{2}+2 \mathrm{a}_{\mathrm{n}}=4 \mathrm{~S}_{\mathrm{n}}+3$
（I）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式：
（II）设 $b_{n}=\frac{1}{a_{n} a_{n+1}}$ ，求数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和。

18．（12分）如图，四边形 $A B C D$ 为菱形，$\angle A B C=120^{\circ}, E, F$ 是平面 $A B C D$ 同一侧的两点， $\mathrm{BE} \perp$ 平面 $\mathrm{ABCD}, \mathrm{DF} \perp$ 平面 $\mathrm{ABCD}, \mathrm{BE}=2 \mathrm{DF}, \mathrm{AE} \perp \mathrm{EC}$ ．
（ I ）证明：平面AEC L平面AFC

（II）求直线 AE 与直线CF所成角的余弦值。

19．（12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 x （单位：千元）对年销售量y（单位： t ）和年利润z（单位：千元）的影响，对近 8 年的年宣传费 $x_{i}$ 和年销售量 $y_{i}(i=1,2, \ldots$ ，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．

表中 $w_{i}=\sqrt{x_{i}}, \quad \bar{w}=\frac{1}{8} \sum_{i=1}^{8} w_{i}$
（I）根据散点图判断，$y=a+b x$ 与 $y=c+d \sqrt{x}$ 哪一个适宜作为年销售量 $y$ 关于年宣传费 x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（II）根据（I）的判断结果及表中数据，建立 $y$ 关于 $x$ 的回归方程；
（III）已知这种产品的年利润 $z$ 与 $x$ 、 $y$ 的关系为 $z=0.2 y-x$ 。根据（II）的结果回答下列问题：
（i）年宣传费 $\mathrm{x}=49$ 时，年销售量及年利润的预报值是多少？
（ii）年宣传费 x 为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据（ $\mathrm{u}_{1} \quad \mathrm{v}_{1}$ ），（ $\mathrm{u}_{2} \quad \mathrm{v}_{2}$ ）．．．．（ $\mathrm{u}_{\mathrm{n}} v_{n}$ ），其回归线 $v=\alpha+\beta u$ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：$\widehat{\beta}=$

$ \frac{\sum_{i=1}^{n}\left(u_{i}-\bar{u}\right)\left(v_{i}-\bar{v}\right)}{\sum_{i=1}^{n}\left(u_{i}-\bar{u}\right)^{2}}, \quad \widehat{\alpha}=\bar{v}-\widehat{\beta} u . $

20．（12分）在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C: y=\frac{x^{2}}{4}$ 与直线 $l: y=k x+a(a>0)$ 交于 $M, N$ 两点．
（I）当 $\mathrm{k}=\mathrm{O}$ 时，分別求 C 在点 M 和 N 处的切线方程．
（II） y 轴上是否存在点 P ，使得当 k 变动时，总有 $\angle O P M=\angle O P N$ ？（说明理由）

21．（12分）已知函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{x}^{3}+\mathrm{ax}+\frac{1}{4}, \mathrm{~g}(\mathrm{x})=-\ln \mathrm{x}$
（i）当 $a$ 为何值时，$x$ 轴为曲线 $y=f$（ $x$ ）的切线；
（ii）用 $\min \{\mathrm{m}, \mathrm{n}\}$ 表示 $\mathrm{m}, \mathrm{n}$ 中的最小值，设函数 $\mathrm{h}(\mathrm{x})=\min \{\mathrm{f}(\mathrm{x}), \mathrm{g}(\mathrm{x})\} (x>0)$ ，讨论 $h(x)$ 零点的个数．

22．（10分）如图， AB 是 $\odot \mathrm{O}$ 的直径， AC 是 $\odot \mathrm{O}$ 的切线， BC 交 $\odot \mathrm{O}$ 于点 E ．
（I）若 D 为 AC 的中点，证明： DE 是 $\odot \mathrm{O}$ 的切线；
（II）若 $\mathrm{OA}=\sqrt{3} \mathrm{CE}$ ，求 $\angle \mathrm{ACB}$ 的大小．

23．（10分）在直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $C_{1}: x=-2$ ，圆 $C_{2}:(x-1)^{2}+(y-2) { }^{2}=1$ ，以坐标原点为极点，$x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（I）求 $\mathrm{C}_{1}, \mathrm{C}_{2}$ 的极坐标方程；
（II）若直线 $C_{3}$ 的极坐标方程为 $\theta=\frac{\pi}{4}(\rho \in R)$ ，设 $C_{2}$ 与 $C_{3}$ 的交点为 $M, N$ ，求 $\Delta C { }_{2} \mathrm{MN}$ 的面积。

24．（10分）已知函数 $f(x)=|x+1|-2|x-a|, a>0$ ．
（I）当 $a=1$ 时，求不等式 $f(x)>1$ 的解集；
（II）若 $f(x)$ 的图象与 $x$ 轴围成的三角形面积大于 6 ，求 $a$ 的取值范围．