（10分）在直角坐标系 x o y，曲线C的参数方程为 a…——2017 高考数学第 22 题答案解析

【考点】IT：点到直线的距离公式；QH：参数方程化成普通方程

【专题】34：方程思想；4Q：参数法；5S：坐标系和参数方程

【分析】（1）将曲线C的参数方程化为标准方程，直线l的参数方程化为一般方程，联立两方程可以求得焦点坐标；

（2）曲线C上的点可以表示成P $( 3 \cos \theta , \sin \theta )$ $\theta \in [ 0 , ~ 2 \pi )$ ，运用点到直线距离公式可以表示出P到直线l的距离，再结合距离最大值为 进行分析，可以求出a的值

【解答】解：（1）曲线C的参数方程为 $\scriptstyle { \left\{ \begin{array} { l l } { \mathbf { x } = 3 \cos { \boldsymbol { \Theta } } } \\ { \mathbf { y } = \sin { \boldsymbol { \Theta } } } \end{array} \right. }$ （θ为参数），化为标准方程是： $\frac { \mathbf { x } ^ { 2 } } { 9 } + y ^ { 2 } = 1$

a=﹣1时，直线l的参数方程化为一般方程是： $x + 4 y - 3 = 0$ ；

联立方程 $\left\{ \frac { { \tt x } ^ { 2 } } { 9 } + { \tt y } ^ { 2 } = 1 \right.$

解得 $\left\{ \begin{array} { l } { \mathbf { x } = 3 } \\ { \mathbf { y } = 0 } \end{array} \right.$ 或 $\left\{ \begin{array} { l } { \displaystyle \mathbf { x } = - \frac { 2 1 } { 2 5 } } \\ { \displaystyle y = \frac { 2 4 } { 2 5 } } \end{array} \right. ,$

所以椭圆C和直线l的交点为（3，0）和 $( \mathbf { \partial } - \frac { 2 1 } { 2 5 } , \frac { 2 4 } { 2 5 } )$

> ②l的参数方程 $\scriptstyle { \left\{ \begin{array} { l l } { \mathbf { x } = \mathbf { a } + 4 t } \\ { \mathbf { y } = 1 - t } \end{array} \right. }$ （t为参数）化为一般方程是： $x + 4 y - a - 4 = 0$

椭圆C上的任一点P可以表示成P（3cosθ，sinθ）， $\Theta \in [ 0 , ~ 2 \pi )$

所以点P到直线l的距离d为：

$\mathsf { d } = \frac { \left| 3 \mathsf { c o s } \ominus + 4 \mathsf { s i n } \ominus - \mathsf { a } - 4 \right| _ { = } \left| 5 \mathsf { s i n } \left( \ominus + \Phi \right) - \mathsf { a } - 4 \right| } { \sqrt { 1 7 } }$ ，φ满足 $\tan \phi = \frac { 3 } { 4 }$ ，且的d的最大

值为 $J { \sqrt { 1 7 } } .$

①当 $- \textsf { a } - 4 { \leq } 0 !$ 时，即a≥﹣4时，

$$ | 5 5 \mathsf { i } \mathsf { n } \ \left( \theta + 4 \right) \ - \mathsf { a } - 4 \big | \le \big | \ - 5 - \mathsf { a } - 4 \big | = 5 + \mathsf { a } + 4 = 1 7 $$

解得 $\mathsf { a } = 8 \geq - \ 4$ ，符合题意

②当﹣a﹣4＞0时，即 $\mathsf { a } < - \mathsf { 4 }$ 时

$$ | 5 5 | 1 ( \theta + 4 ) - a - 4 | \leq | 5 - a - 4 | = 5 - a - 4 = 1 - a = 1 7 $$

解得 $\mathsf { a } = - \mathsf { 1 6 } < - \mathsf { 4 }$ ，符合题意

【点评】本题主要考查曲线的参数方程、点到直线距离和三角函数的最值，难点在于如何根据曲线C上的点到直线l距离的最大值求出a