2011_省自主命题（湖南）
14．（5分）（2011•湖南）在边长为1的正三角形ABC中，设 $\overrightarrow { B C } = 2 \overrightarrow { B D } , \overrightarrow { C A } = 3 \overrightarrow { C E } ,$ 则$\overrightarrow { \mathrm { A D } } \cdot \overrightarrow { \mathrm { B E } } =$
14、在边长为1的正三角形ABC中，设 $\overrightarrow { B C } = 2 \overrightarrow { B D } , \overrightarrow { C A } = 3 \overrightarrow { C E }$ ，则 ${ \overrightarrow { A D } } { \cdot } { \overrightarrow { B E } } =$
图3
$- { \frac { 1 } { 4 } }$
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
答案： $- { \frac { 1 } { 4 } }$
解析：由题 $\overrightarrow { A D } = \overrightarrow { C D } - \overrightarrow { C A } = \frac { 1 } { 2 } \overrightarrow { C B } - \overrightarrow { C A } , \overrightarrow { B E } = \overrightarrow { C E } - \overrightarrow { C B } = \frac { 1 } { 3 } \overrightarrow { C A } - \overrightarrow { C B }$
所以 $\overrightarrow { A D } \cdot \overrightarrow { B E } = ( \frac { 1 } { 2 } \overrightarrow { C B } - \overrightarrow { C A } ) \cdot ( \frac { 1 } { 3 } \overrightarrow { C A } - \overrightarrow { C B } ) = - \frac { 1 } { 2 } - \frac { 1 } { 3 } + \frac { 7 } { 6 } \overrightarrow { C B } \cdot \overrightarrow { C A } = - \frac { 1 } { 4 } \cdot$