2009_省自主命题（陕西）
15．（4分）（2009•陕西）如图球O的半径为2，圆 $\mathrm { O } _ { 1 }$ 是一小圆， $0 _ { 1 } 0 = { \sqrt { 2 } } ,$ ，A、B是圆 $\mathrm { O } _ { 1 }$ 上两点，若A，B两点间的球面距离为 $\frac { 2 \pi } { 3 }$ ，则 $\angle A \mathrm { O } _ { 1 } \mathrm { B } = \_ \frac { \pi } { 2 } -$
见解析
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【考点】球面距离及相关计算；球面的三角公式
【专题】计算题；压轴题
【分析】由题意知应先求出AB的长度，在直角三角形AOB中由余弦定理可得 $\mathbf { A B } { = } 2$ ，由此知三角形 $\mathrm { { A O } _ { 1 } } .$ B的三边长，由此可以求出 $\angle \mathrm { A O _ { 1 } B }$ 的值
【解答】解：由题设知 $0 _ { 1 } 0 { = } \sqrt { 2 } , \mathrm { O A } { = } \mathrm { O B } { = } 2$
在圆 $\mathrm { O } _ { 1 }$ 中有 $\scriptstyle 0 _ { 1 } \mathtt { A } = 0 _ { 1 } \mathtt { B } = { \sqrt { 2 } } $
又A，B两点间的球面距离为 $\frac { 2 \pi } { 3 }$ ，
由余弦定理，得：AB=2
在三角形 $\mathbf { A O } _ { 1 }$ B中由勾股定理可得： $\angle A \mathrm { O } _ { 1 } \mathrm { B } = \frac { \pi } { 2 }$
故答案为 ${ \frac { \pi } { 2 } } .$
【点评】本题的考点是球面距离及相关计算，其考查背景是球内一小圆上两点的球面距，对空间想象能力要求较高，此类题是一个基本题型，属于基础题