## 22．（本小题满分13分） 设函数 f ( x )…——2011 高考数学第 22 题答案解析

【解答】
(2011•湖南)设函数 $f ( x ) = x - { \frac { 1 } { x } } - a I n x ( a \in R )$

(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性

(Ⅱ)若f(x)有两个极值 $\textstyle \operatorname { f i m } x _ { 1 } , \ x _ { 2 }$ ，记过点 $A ( x _ { 1 } , \ f ( x _ { 1 } ) ) , \ B ( x _ { 2 } , \ f ( x _ { 2 } ) )$ 的直线斜率为k．问：是否存在a，使得 $k { = } 2 \mathrm { ~ - ~ } a ?$ 若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由

考点：利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件。

专题：计算题；综合题；压轴题；分类讨论。

分析：(Ⅰ)求导，令导数等于零，解方程，跟据f′(x)f(x)随x的变化情况即可求出函数的单调区间；

(Ⅱ)假设存在a，使得 $k { = } 2 \mathrm { ~ - ~ } a$ ，根据(I)利用韦达定理求出直线斜率为k，根据(I)函数的单调性，推出矛盾，即可解决问题

解答：解：(I)f(x)定义域为 $( 0 , \ + \infty )$

$$ f ^ { \prime } ( x ) = 1 + \frac { 1 } { x ^ { 2 } } - \frac { a } { x } = \frac { x ^ { 2 } - a x + 1 } { x ^ { 2 } } \ , $$

令 $\cdot g ( x ) = x ^ { 2 } - a x + 1 , \triangle = a ^ { 2 } - 4$

①当 $- \ 2 { \leqslant } a { \leqslant }$ 2时，△≤0，f′(x)≥0，故f(x)在(0，+∞)上单调递增，

②当 $| a < - 2$ 时，△＞0，g(x)=0的两根都小于零，在(0，+∞)上，f′(x)＞0，故f(x)在(0，+∞)上单调递增，

③当a＞2时， $\triangle { > } 0 , g ( x ) { = } 0$ 的两根为 $x _ { 1 } = \frac { a - \sqrt { a ^ { 2 } - 4 } } { 2 } , x _ { 2 } = \frac { a + \sqrt { a ^ { 2 } - 4 } } { 2 }$

当 $\scriptstyle 1 0 < x < x _ { 1 }$ 时， $f ^ { \prime } ( x ) { > } 0 ;$ ；当 $x _ { 1 } { < } x { < } x _ { 2 } { \mathbb { H } } { \big . } { \big . }$ $f ^ { \prime } ( x ) { < } 0 ;$ ；当 $\vert x > x _ { 2 }$ 时， $f ^ { \prime } ( x ) { > } 0$

故f(x)分别在 $\dot { \ z } ( 0 , \ x _ { 1 } ) , \ ( x _ { 2 } , \ \ + \infty )$ 上单调递增，在 $( x _ { 1 } , \ x _ { 2 } )$ 上单调递减

(Ⅱ)由(I)知， $a > 2$

因为 $\jmath f ( x _ { 1 } ) - f ( x _ { 2 } ) = ( x _ { 1 } - x _ { 2 } ) + \frac { x _ { 1 } - x _ { 2 } } { x _ { 1 } x _ { 2 } } - a ( \ln x _ { 1 } - \ln x _ { 2 } ) ,$

所以 $k { = } \frac { f ( x _ { 1 } ) { \cdot } f ( x _ { 2 } ) } { x _ { 1 } x _ { 2 } } { = } 1 { + } \frac { 1 } { x _ { 1 } x _ { 2 } } \cdot a \frac { \ln x _ { 1 } { - } \ln x _ { 2 } } { x _ { 1 } { - } x _ { 2 } }$

又由(I)知， $x _ { 1 } x _ { 2 } { = } 1$ ．于是

$$ k { = } 2 - a \frac { \ln x _ { 1 } - \ln x _ { 2 } } { x _ { 1 } - x _ { 2 } } , $$

若存在a，使得k=2﹣a，则 $\frac { \ln x _ { 1 } - \ln x _ { 2 } } { x _ { 1 } - x _ { 2 } } { = 1 }$ ，即 $\ln x _ { 1 } - \ln x _ { 2 } { = } x _ { 1 } - x _ { 2 }$

亦即 $x _ { 2 } – \frac { 1 } { x _ { 2 } } – 2 \mathrm { l n } x _ { 2 } = 0 ( x _ { 2 } { > } 1 ) ( ^ { \ast } )$

再由(I)知，，函数 $h ( t ) = t ^ { - } { \frac { 1 } { t } } { - 2 I n t }$ 在 $( 0 , \ + \infty )$ 上单调递增，

而 $_ { x _ { 2 } > 1 }$

所以 $x _ { 2 } { - } \frac { 1 } { x _ { 2 } } { - } 2 I n x _ { 2 } > 1 - 1 - 2 \mathrm { l n } 1 { = } 0$ ，这 $\varXi ( ^ { * } )$ 式矛盾，

故不存在a，使得 $k { = } 2 \mathrm { ~ - ~ } a$

点评：此题是个难题．考查利用导数研究函数的单调性和极值问题，对方程f'(x)=0有无实根，有实根时，根是否在定义域内和根大小进行讨论，体现了分类讨论的思想方法，其中问题(II)是一个开放性问题，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力