（5分）钝角三角形ABC的面积是 1 2， A B = 1…——2014 高考数学第 4 题答案解析

【考点】HR：余弦定理

【专题】56：三角函数的求值

【分析】利用三角形面积公式列出关系式，将已知面积，AB，BC的值代入求出sinB的值，分两种情况考虑：当B为钝角时；当B为锐角时，利用同角三角函数间的基本关系求出cosB的值，利用余弦定理求出AC的值即可

【解答】解：∵钝角三角形ABC的面积是 $\frac { 1 } { 2 }$ ， $\mathsf { A B } { = } { \mathsf { c } } { = } 1$ ${ \mathsf { B C } } { = } { \mathsf { a } } { = } { \sqrt { 2 } }$ $\therefore S = \frac { 1 } { 2 } a c s i n B = \frac { 1 } { 2 }$ ，即 $\mathsf { s i n B { = } } \frac { \sqrt { 2 } } { 2 }$

当B为钝角时， $\cos \ B = - \sqrt { 1 - \sin ^ { 2 } \ B } = - \frac { \sqrt { 2 } } { 2 }$
利用余弦定理得： $A C ^ { 2 } = A B ^ { 2 } + B C ^ { 2 } - 2 A B \bullet B C \bullet \cos B = 1 + 2 + 2 = 5$ ，即 $A C = { \sqrt { 5 } }$
当B为锐角时， $\cos B = \sqrt { 1 - \sin ^ { 2 } B } = \frac { \sqrt { 2 } } { 2 }$
利用余弦定理得： $\mathsf { A C ^ { 2 } } = \mathsf { A B ^ { 2 } } + \mathsf { B C ^ { 2 } } - 2 \mathsf { A B } \bullet \mathsf { B C } \bullet \mathsf { c o s } \mathsf { B } = 1 ^ { + } 2 \cdot 2 = 1$ ，即 $\mathsf { A C } { = } 1$
此时 $A B ^ { 2 } + A C ^ { 2 } = B C ^ { 2 }$ ，即 $\triangle A B C$ 为直角三角形，不合题意，舍去，
则 $A C = \sqrt { 5 }$
故选：B

【点评】此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键