设 a=0.1 e ^ 0.1 , b= 1 9 , c=…——2022 高考数学第 7 题答案解析

【答案】C
【解析】
【分析】构造函数 $f(x)=\ln (1+x)-x$ ，导数判断其单调性，由此确定 $a, b, c$ 的大小．
【详解】设 $f(x)=\ln (1+x)-x(x>-1)$ ，因为 $f^{\prime}(x)=\frac{1}{1+x}-1=-\frac{x}{1+x}$ ，
当 $x \in(-1,0)$ 时，$f^{\prime}(x)>0$ ，当 $x \in(0,+\infty)$ 时 $f^{\prime}(x)<0$ ，
所以函数 $f(x)=\ln (1+x)-x$ 在 $(0,+\infty)$ 单调递减，在 $(-1,0)$ 上单调递增，
所以 $f\left(\frac{1}{9}\right)<f(0)=0$ ，所以 $\ln \frac{10}{9}-\frac{1}{9}<0$ ，故 $\frac{1}{9}>\ln \frac{10}{9}=-\ln 0.9$ ，即 $b>c$ ，
所以 $f\left(-\frac{1}{10}\right)<f(0)=0$ ，所以 $\ln \frac{9}{10}+\frac{1}{10}<0$ ，故 $\frac{9}{10}<\mathrm{e}^{-\frac{1}{10}}$ ，所以 $\frac{1}{10} \mathrm{e}^{\frac{1}{10}}<\frac{1}{9}$ ，
故 $a<b$ ，
设 $g(x)=x \mathrm{e}^{x}+\ln (1-x)(0<x<1)$ ，则 $g^{\prime}(x)=(x+1) \mathrm{e}^{x}+\frac{1}{x-1}=\frac{\left(x^{2}-1\right) \mathrm{e}^{x}+1}{x-1}$ ，
令 $h(x)=\mathrm{e}^{x}\left(x^{2}-1\right)+1, h^{\prime}(x)=\mathrm{e}^{x}\left(x^{2}+2 x-1\right)$ ，
当 $0<x<\sqrt{2}-1$ 时，$h^{\prime}(x)<0$ ，函数 $h(x)=\mathrm{e}^{x}\left(x^{2}-1\right)+1$ 单调递减，
当 $\sqrt{2}-1<x<1$ 时，$h^{\prime}(x)>0$ ，函数 $h(x)=\mathrm{e}^{x}\left(x^{2}-1\right)+1$ 单调递增，
又 $h(0)=0$ ，
所以当 $0<x<\sqrt{2}-1$ 时，$h(x)<0$ ，
所以当 $0<x<\sqrt{2}-1$ 时，$g^{\prime}(x)>0$ ，函数 $g(x)=x \mathrm{e}^{x}+\ln (1-x)$ 单调递增，
所以 $g(0.1)>g(0)=0$ ，即 $0.1 \mathrm{e}^{0.1}>-\ln 0.9$ ，所以 $a>c$
故选：C．