高考数学导数与函数真题及答案解析

7. $( x + { \frac { 1 } { x } } ) ( x + { \frac { 4 } { x } } )$ 的最小值为()

9.在一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要时间 $T = k \mathrm { l o g } _ { 2 } N ($ (单位：小时)，其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从10⁶个单位增加到 $1 . 0 2 4 \times 1 0 ^ { 9 }$ 个单位时，训练时间增加20小时；当训练数据量N从 $1 . 0 2 4 \times 1 0 ^ { 9 }$ 个单位增加到 $4 . 0 9 6 \times 1 0 ^ { 9 }$ 个单位时，训练时间增加(单位：小时)（)

4．为了得到函数 $y=9^{x}$ 的图象，只需把函数 $y=3^{x}$ 的图象上所有点的

19. 已知 $f ( x ) = x ^ { 2 } - ( m + 2 ) x + m \mathrm { l n } x , m \in R$

(1)若 $f ( 1 ) = 0$ ,求不等式 $f ( x ) \leqslant x ^ { 2 } - 1$ 的解集；

(2) 若函数 $y = f ( x )$ 满足在 $( 0 , + \infty )$ 上存在极大值，求m的取值范围；

21．已知函数 $y=f(x)$ 的定义域为 $\mathbf{R}$ ．对于正实数 a ，定义集合 $M_{a}=\{x \mid f(x+a)=f(x)\}$ ．
（1）若 $f(x)=\sin x$ ，判断 $\frac{\pi}{3}$ 是否是 $M_{\pi}$ 中的元素，并说明理由；
（2）若 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x+2, & x<0 \\ \sqrt{x}, & x \geq 0\end{array}, \quad M_{a} \neq \varnothing\right.$ ，求 a 的取值范围；
③设 $y=f(x)$ 是偶函数，当 $x \in(0,1]$ 时，$f(x)=1-x$ ，且对任意 $a \in(0,2)$ ，均有$M_{a} \subseteq M_{2}$ ．写出 $y=f(x), x \in(1,2)$ 的解析式，并证明：对任意实数 c ，函数 $y=f(x)-c$在 $[-3,3]$ 上至多有 9 个零点．

3. 已知函数 $y = f ( x )$ 的图象如下，则f(x)的解析式可能为 （）

15. 若 $a , b \in R$ ,对 $\forall x \in [ - 2 , 2 ]$ ,均有 $( 2 a + b ) x ^ { 2 } + b x - a - 1 \leqslant 0$ 恒成立，则 $2 a + b$ 的最小值为

4．$\frac{x-4}{x-1} \geq 2$ 解集是

7．记水的质量为 $d=\frac{S-1}{\ln n}$ ，并且 $d$ 越大，水质量越好。若 $S$ 不变，且 $d_{1}=2.1, d_{2}=2.2$ ，则 $n_{1}$ 与 $n_{2}$ 的关系为（ ）

9．已知 $\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right)$ 是函数 $y=2^{x}$ 图象上不同的两点，则下列正确的是（）

7. 曲线 $f { \big ( } x { \big ) } = x ^ { 6 } + 3 x - 1$ 在 $\left( 0 , - 1 \right)$ 处的切线与坐标轴围成的面积为（ ）

14. 曲线 $y = x ^ { 3 } - 3 x$ 与 $y = - \bigl ( x - 1 \bigr ) ^ { 2 } + a$ 在 $( 0 , + \infty )$ 上有两个不同的交点，则a的取值范围为【答案】（-2,1)

20. 实数 $^ { a , b }$ 满足 $a + b \geq 3$

（1）证明： $2 a ^ { 2 } + 2 b ^ { 2 } > a + b$ ；

（2）证明： $\left| a - 2 b ^ { 2 } \right| + \left| b - 2 a ^ { 2 } \right| \geq 6$

6．设函数 $f(x)=\frac{\mathrm{e}^{x}+2 \sin x}{1+x^{2}}$ ，则曲线 $y=f(x)$ 在 $(0,1)$ 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（ ）

7．函数 $f(x)=-x^{2}+\left(\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x}\right) \sin x$ 在区间 $[-2.8,2.8]$ 的大致图像为（ ）

21．已知函数 $f(x)=(1-a x) \ln (1+x)-x$ ．
①当 $a=-2$ 时，求 $f(x)$ 的极值；
②当 $x \geq 0$ 时，$f(x) \geq 0$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围．

7．曲线 $f(x)=x^{6}+3 x-1$ 在 $(0,-1)$ 处的切线与坐标轴围成的面积为（ ）

8．函数 $f(x)=-x^{2}+\left(\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x}\right) \sin x$ 在区间 $[-2.8,2.8]$ 的大致图像为（ ）

13．已知 $a>1, \frac{1}{\log _{8} a}-\frac{1}{\log _{a} 4}=-\frac{5}{2}$ ，则 $a=$

14．曲线 $y=x^{3}-3 x$ 与 $y=-(x-1)^{2}+a$ 在 $(0,+\infty)$ 上有两个不同的交点，则 $a$ 的取值范围为 $\_\_\_\_$。

17．已知函数 $f(x)=a(x-1)-\ln x+1$ ．
（1）求 $f(x)$ 的单调区间；
（2）若 $a \leq 2$ 时，证明：当 $x>1$ 时，$f(x)<\mathrm{e}^{x-1}$ 恒成立．

5. 若 $a = 4 . 2 \AA ^ { - 0 . 3 }$ $b = 4 . 2 ^ { 0 . 3 }$ $c = \log _ { 4 . 2 } 0 . 2$ ，则a b c， ， 的大小关系为（ ）

4．下列函数是偶函数的是

5．若 $a=4.2^{-0.3}, ~ b=4.2^{0.3}, ~ c=\log _{4.2} 0.2$ ，则 $a, ~ b, ~ c$ 的大小关系为（ ）

15．若函数 $f(x)=2 \sqrt{x^{2}-a x}-|a x-2|+1$ 有唯一零点，则 $a$ 的取值范围为

20．设函数 $f(x)=x \ln x$ ．
（1）求 $f(x)$ 图象上点 $(1, f(1))$ 处的切线方程；
（2）若 $f(x) \geq a(x-\sqrt{x})$ 在 $x \in(0,+\infty)$ 时恒成立，求 $a$ 的取值范围；
（3）若 $x_{1}, x_{2} \in(0,1)$ ，证明 $\left|f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\right| \leq\left|x_{1}-x_{2}\right|^{\frac{1}{2}}$ ．

6．已知函数为 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}-x^{2}-2 a x-a, x<0 \\ \mathrm{e}^{x}+\ln (x+1), x \geq 0\end{array}\right.$ ，在 $\mathbf{R}$ 上单调递增，则 $a$ 取值的范围是（ ）

8．已知函数为 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbf{R}, f(x)>f(x-1)+f(x-2)$ ，且当 $x<3$ 时 $f(x)=x$ ，则下列结论中一定正确的是（

10．设函数 $f(x)=(x-1)^{2}(x-4)$ ，则（ ）

13．若曲线 $y=\mathrm{e}^{x}+x$ 在点 $(0,1)$ 处的切线也是曲线 $y=\ln (x+1)+a$ 的切线，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ．

18．已知函数 $f(x)=\ln \frac{x}{2-x}+a x+b(x-1)^{3}$
（1）若 $b=0$ ，且 $f^{\prime}(x) \geq 0$ ，求 $a$ 的最小值；
（2）证明：曲线 $y=f(x)$ 是中心对称图形；
（3）若 $f(x)>-2$ 当且仅当 $1<x<2$ ，求 $b$ 的取值范围．

6．设函数 $f(x)=a(x+1)^{2}-1, g(x)=\cos x+2 a x$ ，当 $x \in(-1,1)$ 时，曲线 $y=f(x)$ 与 $y=g(x)$ 恰有一个交点，则 $a=$（ ）

8．设函数 $f(x)=(x+a) \ln (x+b)$ ，若 $f(x) \geq 0$ ，则 $a^{2}+b^{2}$ 的最小值为 ()

11．设函数 $f(x)=2 x^{3}-3 a x^{2}+1$ ，则 ()

16．已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^{x}-a x-a^{3}$ ．
（1）当 $a=1$ 时，求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 处的切线方程；
（2）若 $f(x)$ 有极小值，且极小值小于 0 ，求 $a$ 的取值范围．

10. 设函数 $f ( x ) = ( x - 1 ) ^ { 2 } ( x - 4 )$ ，则（ ）

13. 若曲线 $y = \mathbf { e } ^ { x } + x$ 在点(0,1)处的切线也是曲线 $y = \ln ( x + 1 ) + a$ 的切线，则a =

4．下列函数中，在区间 $(0,+\infty)$ 上单调递增的是（ ）

11．已知函数 $f(x)=4^{x}+\log _{2} x$ ，则 $f\left(\frac{1}{2}\right)=$ $\_\_\_\_$。

15．设 $a>0$ ，函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x+2, x<-a, \\ \sqrt{a^{2}-x^{2}},-a \leq x \leq a, \text { 给出下列四个结论：} \\ -\sqrt{x}-1, x>a .\end{array}\right.$
①$f(x)$ 在区间 $(a-1,+\infty)$ 上单调递减；
（2）当 $a \geq 1$ 时，$f(x)$ 存在最大值；
③设 $M\left(x_{1}, f\left(x_{1}\right)\right)\left(x_{1} \leq a\right), N\left(x_{2}, f\left(x_{2}\right)\right)\left(x_{2}>a\right)$ ，则 $|M N|>1$ ；
④设 $P\left(x_{3}, f\left(x_{3}\right)\right)\left(x_{3}<-a\right), Q\left(x_{4}, f\left(x_{4}\right)\right)\left(x_{4} \geq-a\right)$ 。若 $|P Q|$ 存在最小值，则 $a$ 的取值范围是 $\left(0, \frac{1}{2}\right]$.

其中所有正确结论的序号是