17．（10分）在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中， $\cos \mathrm{A}=-\frac{5}{13}, \cos \mathrm{~B}=\frac{4}{5}$ ．
（I）求 $\operatorname{sinC}$ 的值；
（II）设 $B C=5$ ，求 $\triangle A B C$ 的面积．
（10分）在 ABC 中， cos A =- 5 13 ,…——2008 高考数学第 17 题答案解析
2008_旧全国 II 卷 (2008·文)
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【考点】GG：同角三角函数间的基本关系；GP：两角和与差的三角函数．
【专题】11：计算题．
【分析】（I）先利用同角三角函数的基本关系求得 $\sin \mathrm{A}$ 和 $\sin \mathrm{B}$ 的值，进而根据 $\sin C=\sin (A+B)$ 利用正弦的两角和公式求得答案。
（II）先利用正弦定理求得AC，进而利用三角形面积公式求得三角形的面积。
【解答】解：（ I ）
∵ 在 $\triangle A B C$ 中，$A+B+C=180^{\circ}, \sin C=\sin (180-(A+B))=\sin (A+B)$
由 $\cos \mathrm{A}=-\frac{5}{13}$ ，得 $\sin \mathrm{A}=\frac{12}{13}$ ，
由 $\cos \mathrm{B}=\frac{4}{5}$ ，得 $\sin \mathrm{B}=\frac{3}{5}$ ．
所以 $\sin C=\sin (A+B)=\sin A \cos B+\cos A \sin B=\frac{33}{65}$ ．
（II）由正弦定理得 $\mathrm{AC}=\frac{\mathrm{BC} \times \sin \mathrm{B}}{\sin \mathrm{A}}=\frac{5 \times \frac{3}{5}}{\frac{12}{13}}=\frac{13}{4}$ ．
所以 $\triangle \mathrm{ABC}$ 的面积 $\mathrm{S}=\frac{1}{2} \mathrm{BC} \cdot \mathrm{AC} \cdot \sin \mathrm{C}=\frac{1}{2} \times 5 \times \frac{13}{4} \times \frac{33}{65}=\frac{33}{8}$ ．
【点评】本题主要考查了同角三角函数的基本关系的应用和正弦的两角和公式的应用．考查了学生对三角函数基础知识的理解和灵活运用．
✅ 来源：2008年 · 全国 · 2008_旧全国 II 卷 (2008·文) · 第 17 题 · 本题已通过人工审核与系统自动校验