2008 quanguo_old_ii · 文 数学　·　真题与答案解析

1．（5分）若 $\sin \alpha<0$ 且 $\tan \alpha>0$ ，则 $\alpha$ 是

2．（5分）设集合 $M=\{m \in Z \mid-3<m<2\}, N=\{n \in Z \mid-1 \leq n \leq 3\}$ ，则 $M \cap N=$ ）

3．（5分）原点到直线 $x+2 y-5=0$ 的距离为（）

4．（5分）函数 $f(x)=\frac{1}{x}-x$ 的图象关于

5．（5分）若 $x \in\left(e^{-1}, 1\right), a=\ln x, b=2 \ln x, c=\ln ^{3} x$ ，则（）

6．（5分）设变量 $x, y$ 满足约束条件：$\left\{\begin{array}{l}y \geqslant x \\ x+2 y \leqslant 2, \text { 则 } z=x-3 y \text { 的最小值（）} \\ x \geqslant-2\end{array}\right.$（）

7．（5分）设曲线 $y=a x^{2}$ 在点 $(1, a)$ 处的切线与直线 $2 x-y-6=0$ 平行，则 $a=$（

8．（5分）正四棱锥的侧棱长为 $2 \sqrt{3}$ ，侧棱与底面所成的角为 $60^{\circ}$ ，则该棱锥的体积为

9．（5分）$(1-\sqrt{x})^{4}(1+\sqrt{x})^{4}$ 的展开式中 $x$ 的系数是（ ）

10．（5分）函数 $f(x)=\sin x-\cos x$ 的最大值为（ ）

11．（5分）设 $\triangle A B C$ 是等腰三角形，$\angle A B C=120^{\circ}$ ，则以 $A$ ，$B$ 为焦点且过点 $C$ 的双曲线的离心率为（ ）

12．（5分）已知球的半径为 2 ，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆，若两圆的公共弦长为 2 ，则两圆的圆心距等于（ ）

13．（5分）设向量 $\vec{a}=(1,2), \vec{b}=(2,3)$ ，若向量 $\lambda \vec{a}+\vec{b}$ 与向量 $\vec{c}=(-4,-7)$ 共线，则 $\lambda=$ $\_\_\_\_$ 2 ．

14．（5分）从10名男同学，6名女同学中选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的不同选法共有 $\_\_\_\_$ 420种（用数字作答）

15．（5分）已知 $F$ 是抛物线 $C$ ：$y^{2}=4 x$ 的焦点，$A, B$ 是 $C$ 上的两个点，线段 $A B$ 的中点为 $\mathrm{M}(2,2)$ ，则 $\triangle \mathrm{ABF}$ 的面积等于 $\_\_\_\_$ 2 ．

16．（5分）平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件 ： 充要条件①三组对面分别平行的四棱柱为平行六面体 ； 充要条件②平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分；。 （写出你认为正确的两个充要条件）

17．（10分）在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中， $\cos \mathrm{A}=-\frac{5}{13}, \cos \mathrm{~B}=\frac{4}{5}$ ． （I）求 $\operatorname{sinC}$ 的值； （II）设 $B C=5$ ，求 $\triangle A B C$ 的面积．

18．（12分）等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{4}=10$ 且 $a_{3}, a_{6}, a_{10}$ 成等比数列，求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 前 2 0 项的和 $\mathrm{S}_{20}$ ．

19．（12分）甲、乙两人进行射击比赛，在一轮比赛中，甲、乙各射击一发子弹．根据以往资料知，甲击中 8 环， 9 环， 10 环的概率分别为 $0.6,0.3,0.1$ ，乙击中 8 环， 9 环， 10 环的概率分别为 $0.4,0.4,0.2$ ． 设甲、乙的射击相互独立． （I）求在一轮比赛中甲击中的环数多于乙击中环数的概率； （II）求在独立的三轮比赛中，至少有两轮甲击中的环数多于乙击中环数的概率。

20．（12分）如图，正四棱柱 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，$A A_{1}=2 A B=4$ ，点 $E$ 在 $C C_{1}$ 上且 $C_{1} \mathrm{E}=3 \mathrm{EC}$ ． （ I ）证明： $\mathrm{A}_{1} \mathrm{C} \perp$ 平面 BED ； （II）求二面角 $\mathrm{A}_{1}-\mathrm{DE}-\mathrm{B}$ 的大小。 

21．（12分）设 $a \in R$ ，函数 $f(x)=a x^{3}-3 x^{2}$ ． （I）若 $x=2$ 是函数 $y=f(x)$ 的极值点，求 $a$ 的值； （II）若函数 $g(x)=f(x)+f^{\prime}(x), x \in[0,2]$ ，在 $x=0$ 处取得最大值，求 $a$ 的取值范围。

22．（12分）设栯圆中心在坐标原点，$A(2,0), B(0,1)$ 是它的两个顶点 ，直线 $y=k x(k>0)$ 与 $A B$ 相交于点 $D$ ，与椭圆相交于 $E , F$ 两点． （I）若 $\overrightarrow{\mathrm{ED}}=6 \overrightarrow{\mathrm{DF}}$ ，求 k 的值； （II）求四边形AEBF面积的最大值．