14．（2012•天津）已知函数 $\mathrm{y}=\frac{\left|\mathrm{x}^{2}-1\right|}{\mathrm{x}-1}$ 的图象与函数 $\mathrm{y}=\mathrm{kx}$ 的图象恰有两个交点，则实数 k 的取值范围是—
$\_\_\_\_$ ．
（2012•天津）已知函数 y = | x ^ 2 -1…——2012 高考数学第 14 题答案解析
2012_天津卷 (2012·文)
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【解答】
（2012．天津）已知函数 $\mathrm{y}=\frac{\left|\mathrm{x}^{2}-1\right|}{\mathrm{x}-1}$ 的图象与函数 $\mathrm{y}=\mathrm{kx}$ 的图象恰有两个交点，则实数 k 的取值范围是—
$\_\_\_\_$ $(0,1) \cup(1,2)$ ．
考 函数的零点与方程根的关系。
点
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专 计算题。
题
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分
分
析
： 函数 $\mathrm{y}=\frac{\left|\mathrm{x}^{2}-1\right|}{\mathrm{x}-1}=\frac{|\mathrm{x}+1| \cdot|\mathrm{x}-1|}{\mathrm{x}-1}=\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}+1, \quad \mathrm{x}>1 \\ -(\mathrm{x}+1) \quad, \quad-1 \leqslant \mathrm{x}<1 \text { ，如图所示，可得直线 } \mathrm{y}=\mathrm{x} \mathrm{x} \text { 与函数 } \mathrm{y}= \\ \mathrm{x}+1, \quad \mathrm{x}<-1\end{array}\right. \frac{\left|x^{2}-1\right|}{x-1}$ 的图象相交于两点时，直线的斜率 $k$ 的取值范围．
解
答
： 解：函数 $\mathrm{y}=\frac{\left|\mathrm{x}^{2}-1\right|}{\mathrm{x}-1}=\frac{|\mathrm{x}+1| \cdot|\mathrm{x}-1|}{\mathrm{x}-1}=\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}+1, \quad \mathrm{x}>1 \\ -(\mathrm{x}+1) \quad, \quad-1 \leqslant \mathrm{x}<1 \text { ，如图所示：} \\ \mathrm{x}+1, \quad \mathrm{x}<-1\end{array}\right.$
故当一次函数 $\mathrm{y}=\mathrm{kx}$ 的斜率 k 满足 $0<\mathrm{k}<1$ 或 $1<\mathrm{k}<2$ 时，直线 $\mathrm{y}=\mathrm{kx}$ 与函数 $\mathrm{y}=\frac{\left|\mathrm{x}^{2}-1\right|}{\mathrm{x}-1}$ 的图象相交于两点，故答案为 $(0,1) \cup(1,2)$ ．
点 本题主要考查函数的零点的定义，函数的零点与方程的根的关系，体现了转化、数形结合的数学思想，属于评 基础题．
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