（17）（满分 12 分）在 ABC 中， BC = 5…——2009 高考数学第 17 题答案解析

【解答】
本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦、两角差的正弦等基础知识，考查基本运算能力。满分 12 分。
（ I ）解：在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中，根据正弦定理，$\frac{A B}{\sin C}=\frac{B C}{\sin A}$
于是 $\mathrm{AB}=\frac{\sin C}{\sin A} B C=2 B C=2 \sqrt{5}$
（ II ）解：在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中，根据余弦定理，得 $\cos \mathrm{A}=\frac{A B^{2}+A C^{2}-B D^{2}}{2 A B \bullet A C}=\frac{2 \sqrt{5}}{5}$
于是 $\quad \sin \mathrm{A}=\sqrt{1-\cos ^{2} A}=\frac{\sqrt{5}}{5}$
从而 $\sin 2 \mathrm{~A}=2 \sin \mathrm{~A} \cos \mathrm{~A}=\frac{4}{5}, \cos 2 \mathrm{~A}=\cos ^{2} \mathrm{~A}-\sin ^{2} \mathrm{~A}=\frac{3}{5}$
所以 $\sin \left(2 \mathrm{~A}-\frac{\pi}{4}\right)=\sin 2 \mathrm{~A} \cos \frac{\pi}{4}-\cos 2 \mathrm{~A} \sin \frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{10}$