2008_省自主命题（四川）
18．（12分）（2008•四川）一条生产线上生产的产品按质量情况分为三类：A类、B类、C类．检验员定时从该生产线上任取2件产品进行一次抽检，若发现其中含有C类产品或2件都是B 类产品，就需要调整设备，否则不需要调整．已知该生产线上生产的每件产品为A类品，B 类品和C类品的概率分别为0.9，0.05和0.05，且各件产品的质量情况互不影响（Ⅰ）求在一次抽检后，设备不需要调整的概率；
（Ⅱ）若检验员一天抽检3次，以ξ表示一天中需要调整设备的次数，求ξ的分布列和数学期望
见解析
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【考点】等可能事件的概率；离散型随机变量及其分布列
【分析】（1）在一次抽检后，设备不需要调整表示两件都是A 类产品或两件中最多有一件B类产品，共包括三种情况，这三种结果是互斥的，而一次测的两件产品质量相互之间没有影响．
（2）检验员一天抽检3次，以ξ表示一天中需要调整设备的次数，则ξ的可能取值为0、1、2、3，由题意知ξ～B（3，0.1），写出随机变量的分布列和期望
【解答】解：（Ⅰ）设 $\mathbf { A } _ { \mathrm { i } }$ 表示事件“在一次抽检中抽到的第i件产品为A类品”，i=1，2
$\mathrm { B } _ { \mathrm { i } }$ 表示事件“在一次抽检中抽到的第 i件产品为B类品”，i=1，2
C表示事件“一次抽检后，设备不需要调整”
则 $\mathrm { C } { = } \mathrm { A } _ { 1 } { \bullet } \mathrm { A } _ { 2 } { + } \mathrm { A } _ { 1 } { \bullet } \mathrm { B } _ { 2 } { + } \mathrm { B } _ { 1 } { \bullet } \mathrm { A } _ { 2 }$
由已知 $\mathrm { ~ P ~ } \left( \mathrm { ~ A _ { i } } \right) = 0 . 9 , \mathrm { ~ P ~ } \left( \mathrm { ~ B _ { i } } \right) = 0 . 0 5 \mathrm { i } = 1 , 2$ ∴所求的概率为 $\mathrm { ~ P ~ } \left( \mathrm { C } \right) = \mathrm { P } \left( \mathbf { A } _ { 1 } \bullet \mathbf { A } _ { 2 } \right) + \mathrm { P } \left( \mathbf { A } _ { 1 } \bullet \mathbf { B } _ { 2 } \right) + \mathrm { P } \left( \mathbf { B } _ { 1 } \bullet \mathbf { A } _ { 2 } \right)$ =0.9<sup>2</sup>+2×0.9×0.05=0.9
（Ⅱ）∵检验员一天抽检3次，
以ξ表示一天中需要调整设备的次数则ξ的可能取值为0、1、2、3
由（Ⅰ）知一次抽检后，设备需要调整的概率为
=1﹣0.9=0.1，
依题意知 $\xi \backslash \sim \mathtt { B } \ ( 3 , \ 0 . 1 )$
<table><tr><td rowspan=1 colspan=1></td><td rowspan=1 colspan=1>0</td><td rowspan=1 colspan=1>1</td><td rowspan=1 colspan=1>2</td><td rowspan=1 colspan=1>3</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>p</td><td rowspan=1 colspan=1>0.729</td><td rowspan=1 colspan=1>0.243</td><td rowspan=1 colspan=1>0.027</td><td rowspan=1 colspan=1>0.001</td></tr></table>
${ \mathrm { E } } \xi = \operatorname* { n p } = 3 \times 0 . 1 = 0 . 3 ~ .$
【点评】本题考查分布列和期望，这种类型是近几年高考题中经常出现的，考查离散型随机变量的分布列和期望，大型考试中理科考试必出的一道问题