## 23．（本小题满分10分） 设整数 n ≥ 4，P…——2011 高考数学第 23 题答案解析

【解答】
（本小题满分10分)设整数 $n \geqslant 4 , P ( a , b )$ 是平面直角坐标系 $x O y$ 中的点，其中 $a , b \in \{ 1 , 2 , 3 , \cdots , n \} , a > b .$ (1) 记 $A _ { n }$ 为满足 $a \mathrm { ~ - ~ } b = 3$ 的点P的个数，求 $A _ { p }$ (2) 记 $B _ { n }$ 为满足 ${ \frac { 1 } { 3 } } ( a - b )$ 是整数的点P的个数，求 $B _ { w }$

(第22题)

数学Ⅱ(附加题)参考<!-- nested -->答案

21.【选做题】

A.选修4-1:几何证明选讲

本小题主要考查两圆内切、相似比等基础知识，考查推理论证能力.满分10分证明：连结 $A O _ { \uparrow }$ ,并延长分别交两圆于点E和点 D.连结 BD,CE.因为圆 $O _ { r }$ 与圆 $o ,$ 内切于点A，所以点 $O _ { 2 }$ 在 AD上. 故 ADAE分别为圆 $O _ { r }$ ,圆 $O _ { z }$ 的直径.从而 $\angle A B D = \angle A C E = \frac { \pi } { 2 }$ .所以 $B D / / C E$ 于是 $\frac { A B } { A C } = \frac { A D } { A E } = \frac { 2 r _ { 1 } } { 2 r _ { 2 } } = \frac { r _ { 1 } } { r _ { 2 } }$ 所以 $A B : A C$ 为定值.

(第21-A题)

B.选修4-2;矩阵与变换

本小题主要考查矩阵运算等基础知识，考查运算求解能力.满分10分.
解 $\cdot A ^ { 2 } = { \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 1 } \\ { 2 } & { 1 } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 1 } \\ { 2 } & { 1 } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l l } { 3 } & { 2 } \\ { 4 } & { 3 } \end{array} \right] }$ 设 $\alpha = { \left[ \begin{array} { l } { x } \\ { y } \end{array} \right] }$ $A ^ { 2 } \alpha = \beta$ ，得 ${ \left[ \begin{array} { l l } { 3 } & { 2 } \\ { 4 } & { 3 } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { x } \\ { y } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l } { 1 } \\ { 2 } \end{array} \right] }$ ，从而 $\scriptstyle { \left\{ \begin{array} { l l } { 3 x + 2 y = 1 } \\ { 4 x + 3 y = 2 } \end{array} \right. }$ 解得 $x = - 1 , y = 2$ ，所以 ${ \pmb { \alpha } } = \left[ { \begin{array} { c } { - 1 } \\ { 2 } \end{array} } \right]$

C.选修4-4:坐标系与参数方程本小题主要考查椭圆及直线的参数方程等基础知识，考查转化问题的能力.满分10分.解：由题设知，椭圆的长半轴长 $a = 5$ ,短半轴长 $b = 3$ ,从而 $c = \sqrt { a ^ { 2 } - b ^ { 2 } } = 4$ ,所以右焦点为(4,0).将已知直线的参数方程化为普通方程： $x - 2 y + 2 = 0$

故所求直线的斜率为 $\frac { 1 } { 2 }$ ,因此其方程为 $y = \frac { 1 } { 2 } ( x - 4 )$ ,即 $x - 2 y - 4 = 0$ D. 选修 $^ { 4 - 5 }$ :不等式选讲

本小题主要考查解绝对值不等式的基础知识，考查分类讨论、运算求解能力.满分10分
解：原不等式可化为 $\scriptstyle \left\{ { 2 x - 1 \geq 0 , \atop x + ( 2 x - 1 ) < 3 } \right.$ $\scriptstyle { \binom { 2 x - 1 < 0 } { x - ( 2 x - 1 ) < 3 } }$ 解得 $\frac { 1 } { 2 } \leq x < \frac { 4 } { 3 }$ 或 $- 2 < x < \frac { 1 } { 2 }$ 所以原不等式的解集是 $\{ x \vert - 2 < x < \frac { 4 } { 3 } \}$

22.【必做题】本小题主要考查空间向量的基础知识，考查运用空间向量解决问题的能力.满分10分.解：建立如图所示的空间直角坐标系 $D / - x y z .$ 设 $C M = \iota \ ( 0 \leqslant \iota \leqslant 2 )$ ，则各点的坐标为A(1,0,0)，$A _ { 1 } ( 1 , 0 , 2 )$ $N ( \frac { 1 } { 2 } , 1 , 0 )$ ,M(0,1,t). 所以 $\overrightarrow { D N } = ( \frac { 1 } { 2 } , 1 , 0 ) , \overrightarrow { D M } = ( 0 , 1 , t ) , \overrightarrow { D M } _ { 1 } ^ { * } = ( 1 , 0 , 2 )$

$$ \pmb { n } _ { 1 } = ( x _ { 1 } , y _ { 1 } , z _ { 1 } ) $$

法问量为 ，则$n _ { \iota } \cdot \overrightarrow { D N } = 0 , n _ { \iota } \cdot \overrightarrow { D M } = 0 ,$ 即 $x _ { 1 } + 2 y _ { 1 } = 0 , y _ { 1 } + t z _ { 1 } = 0 .$ $\circledast z _ { 1 } = 1$ ，则 $y _ { 1 } = - t , x _ { 1 } = 2 t$ 所以 $\pmb { n } _ { 1 } = ( 2 t , - t , 1 )$ 是平面DMN的一个法向量.设平面 $A _ { 1 } D N$ 的法向量为 $\pmb { n } _ { 2 } = ( x _ { 2 } , y _ { 2 } , z _ { 2 } )$ ，则$\pmb { n } _ { z } \cdot \overrightarrow { D A _ { 1 } } = 0 , \pmb { n } _ { z } \cdot \overrightarrow { D N } = 0$ 即 $x _ { 2 } + 2 z _ { 2 } = 0 , \ x _ { 2 } + 2 y _ { 2 } = 0 ,$ $z _ { 2 } = 1$ ，则 $x _ { 2 } = - 2 , y _ { 2 } = 1$ 所以 ${ \pmb n } _ { 2 } = \left( - 2 , 1 , 1 \right)$ 是平面 $A _ { 1 } D N$ 的一个法向量.从而 $\pmb { n } _ { 1 } \cdot \pmb { n } _ { 2 } = - 5 t + 1$

【解答】
【必做题】本小题主要考查计数原理，考查探究能力.满分10分

解：(1)点P的坐标满足条件： $\scriptstyle 1 \leqslant b = a - 3 \leqslant n - 3$ ，所以 $A _ { \circ } = n - 3$ ②设k为正整数，记 $f _ { n } ( k )$ 为满足题设条件以及 $a - b = 3 k$ 的点P的个数.只要讨论$\textstyle f _ { n } ( k ) \geq 1$ 的情形.由 $1 \leqslant b = a - 3 k \leqslant n - 3 k$ 知 $f _ { * } ( k ) = n - 3 k$ $k \leqslant \frac { n - 1 } { 3 }$ 设 $n - 1 = 3 m + r$ ，其中 $m \in \mathbf { N } ^ { * } , r \in \{ 0 , 1 , 2 \}$ ，则 $k \leqslant m$ .所以$B _ { n } = { \displaystyle \sum _ { k = 1 } ^ { n } f _ { n } ( k ) } = { \displaystyle \sum _ { k = 1 } ^ { n } \ ( n - 3 k ) } = m n - { \frac { 3 m ( m + 1 ) } { 2 } } = { \frac { m ( 2 n - 3 m - 3 ) } { 2 } }$ 将 $m = \frac { n - 1 - r } { 3 }$ 代入上式，化简得 $B _ { \circ } = \frac { \left( n - 1 \right) \left( n - 2 \right) } { 6 } - \frac { r ( r - 1 ) } { 6 }$ $B _ { n } = \left\{ \begin{array} { l l } { { \displaystyle \frac { n ( n - 3 ) } { 6 } } , \ { \frac { n } { 3 } } ; } \\ { { \displaystyle \frac { ( n - 1 ) ( n - 2 ) } { 6 } } } \end{array} \right.$ 是整数，所以$\frac { n } { 3 }$ 不是整数.