已知 a R，函数 f ( x ) = a x ^ 3 -…——2019 高考数学第 16 题答案解析

【解析】

【分析】

本题主要考查含参绝对值不等式、函数方程思想及数形结合思想，属于能力型考题. 从研究$f ( t + 2 ) - f ( t ) = 2 a \left( 3 t ^ { 2 } + 6 t + 4 \right) - 2$ 入手，令 $m = 3 t ^ { 2 } + 6 t + 4 \in [ 1 , + \infty )$ ，从而使问题加以转化，通过绘制函数图象，观察得解.

【详解】使得 $f ( t + 2 ) - f ( t ) = a \big ( 2 \bullet ( t + 2 ) ^ { 2 } + t ( t + 2 ) + t ^ { 2 } \big ) ) - 2 = 2 a \big ( 3 t ^ { 2 } + 6 t + 4 \big ) - 2$

使得令 $m = 3 t ^ { 2 } + 6 t + 4 \in [ 1 , + \infty )$ ，则原不等式转化为存在 1,m³ $| a m - 1 | \leq \frac 1 3$ ，由折线函数，如图

只需 $a - 1 \leq \frac 1 3$ ，即 $a \leq \frac { 4 } { 3 }$ ，即a的最大值是 $\frac 4 3$ 【点睛】对于函数不等式问题，需充分利用转化与化归思想、数形结合思想.