若曲线 y = e ^ x + x 在点(0,1)处的切线…——2024 高考数学第 13 题答案解析

【答案】ln 2

【解析】

【 分 析 】 先 求 出 曲 线 $y = \mathsf { e } ^ { x } + x$ 在(0,1)的切线方程，再设曲线 $y = \ln ( x + 1 ) + a$ 的 切 点 为$\left( x _ { 0 } , \ln { \left( x _ { 0 } + 1 \right) } + a \right)$ ，求出 $y ^ { \prime }$ ，利用公切线斜率相等求出 $x _ { 0 }$ ，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解.

详解】由【 $y = \mathbf { e } ^ { x } + x$ 得 $y ^ { \prime } = \mathbf { e } ^ { x } + 1$ $y ^ { \prime } \mid _ { x = 0 } = \mathbf { e } ^ { 0 } + 1 = 2$

故曲线 $y = \mathbf { e } ^ { x } + x$ 在(0,1) 处的切线方程为 $y = 2 x + 1$

由 $y = \ln ( x + 1 ) + a$ 得 $y ^ { ' } = \frac { 1 } { x + 1 }$

设切线与曲线 $y = \ln ( x + 1 ) + a$ 相切的切点为 $\left( x _ { 0 } , \ln { \left( x _ { 0 } + 1 \right) } + a \right)$

由两曲线有公切线得 $y ^ { \prime } { = } \frac { 1 } { x _ { 0 } + 1 } { = } 2$ ，解得 $x _ { 0 } = - \frac { 1 } { 2 }$ ，则切点为 $\left( - { \frac { 1 } { 2 } } , a + \ln { \frac { 1 } { 2 } } \right)$

切线方程为 $y = 2 { \Bigg ( } x + { \frac { 1 } { 2 } } { \Bigg ) } + a + \ln { \frac { 1 } { 2 } } = 2 x + 1 + a - \ln 2$

根据两切线重合,所以 $a - \ln 2 = 0$ ，解得 $a = \ln 2$

故答案为：ln2