（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥C…——2011 高考数学第 19 题答案解析

【考点】LW：直线与平面垂直；MI：直线与平面所成的角

【专题】11：计算题；14：证明题

【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，即证明SD垂直于面SAB中两条相交的直线SA，SB；在证明SD与SA，SB的过程中运用勾股定理即可

（Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小即利用平面SBC的法向量

n与AB间的夹角关系即可，当n与 $\overrightarrow { A B } \vert$ 为锐角时，所求的角即为它的

余角；当 $\vec { \bf \Phi } _ { \mathrm { n } } ^ { + }$ 与 $\overrightarrow { \mathbb { A } \mathbb { B } } i$ 为钝角时，所求的角为 $< \overrightarrow { n } \cdot \overrightarrow { A B } > - \frac { \pi } { 2 }$

【解答】（Ⅰ）证明：在直角梯形ABCD中，

∵AB∥CD，BC⊥CD，AB=BC=2，CD=1

$$ \therefore A D = \sqrt { ( A B - C D ) ^ { 2 } + B C ^ { 2 } } = \sqrt { 5 } $$

∵侧面SAB为等边三角形，AB=2

∴SA=2

$$ \because S D = 1 $$

$$ \therefore A D ^ { 2 } = S A ^ { 2 } + S D ^ { 2 } $$

∴SD⊥SA

同理：SD⊥SB

$\because S A \cap S B = S , S A , S B C$ 面SAB

∴SD⊥平面SAB

（Ⅱ）建立如图所示的空间坐标系

则A $( 2 , ~ - ~ 1 , ~ 0 ) ~ , ~ 8 ~ ( 2 , ~ 1 , ~ 0 ) ~ , ~ { \textsf { C } } ~ ( 0 , ~ 1 , ~ 0 )$

作出S在底面上的投影M，则由四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形知，M点一定在x轴上，又AB=BC=2，CD=SD=1．可解得 $\mathsf { \cdot M D { = } \frac { 1 } { 2 } }$

从而解得 $S M = \frac { \sqrt { 3 } } { 2 }$ ，故可得S $( { \frac { 1 } { 2 } } , \ 0 , \ { \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } } )$

则 $\overrightarrow { S \mathrm { B } } = ( \frac { 3 } { 2 } , 1 , \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } ) , \overrightarrow { S \mathrm { C } } = ( \frac { 1 } { 2 } , 1 , \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } )$

设平面SBC的一个法向量为 $\stackrel { } { \mathrm { \bf { n } } } = ( { \bf { x } } , \textrm { \bf { y } } , \textrm { { z } } )$

则 $\overrightarrow { \mathrm { S B } } \cdot \overrightarrow { \mathrm { n } } = 0 , \overrightarrow { \mathrm { S C } } \cdot \overrightarrow { \mathrm { n } } = 0$

即 $\left\{ \begin{array} { l } { { \displaystyle { \frac { 3 } { 2 } } { \bf x } + { \bf y } - { \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } } { \bf z } = 0 } } \\ { { \displaystyle { \frac { 1 } { 2 } } { \bf x } + { \bf y } - { \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } } { \bf z } = 0 } } \end{array} \right.$

取 $\scriptstyle x = 0 , \forall = { \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } } , \tau = 1$

即平面SBC的一个法向量为 ${ \vec { \mathrm { r } } } _ { \mathrm { { i } } } = ( { \bf { x } } , { \bf { \vec { y } } } , { \bf { \vec { z } } } ) = { \bf { \Sigma } } ( 0 , { \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } }$ ，1）

又 $\overrightarrow { A B } = ( 0 , 2 , 0 )$

$$ \cos < \overrightarrow { A B } , \overrightarrow { \mathrm { n } } > = \frac { \overrightarrow { A B } \cdot \overrightarrow { \mathrm { n } } } { \vert \overrightarrow { A B } \vert \cdot \vert \overrightarrow { \mathrm { n } } \vert } = \frac { \sqrt { 3 } } { \sqrt { 7 } } = \frac { \sqrt { 2 1 } } { 7 } $$

$$ \therefore < \overrightarrow { \mathrm { A B } } , \overrightarrow { \mathrm { n } } > = \mathsf { a r c c o s } \frac { \sqrt { 2 1 } } { 7 } $$

即AB与平面SBC所成的角的大小为 $\arcsin \frac { \sqrt { 2 1 } } { 7 }$

【点评】本题考查了直线与平面垂直的判定，直线与平面所成的角以及空间向量的基本知识，属于中档题