过抛物线 x ^ 2 = 2 p y ( p > 0 )…——2010 高考数学第 14 题答案解析

【解答】
（5分）（2010•湖南）过抛物线 $\scriptstyle \mathbf { x } ^ { 2 } = 2 { \mathrm { p y ~ } } ( { \mathrm { p } } > 0 )$ 的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A，B两点，A，B在x轴上的正射影分别为D，C．若梯形ABCD的面积为 $ 1 2 { \sqrt { 2 } } ;$ ，则P=2

【考点】抛物线的标准方程；直线的一般式方程；抛物线的简单性质

【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程

【分析】先根据抛物线方程得出其焦点坐标和过焦点斜率为1的直线方程，设出A，B两点的坐标，把直线与抛物线方程联立消去y，根据韦达定理表示 $\operatorname { H } \mathbf { X } _ { 1 } + \mathbf { X } _ { 2 }$ 和 $\vert { \bf x } _ { 1 } { \bf x } _ { 2 }$ ，进而用A，B坐标表示出梯形的面积建立等式求得p

【解答】解：抛物线的焦点坐标为F $( 0 , \ { \frac { \mathtt { p } } { 2 } } )$ ，则过焦点斜率为1的直线方程为 $\scriptstyle | \mathbf { y } = \mathbf { x } + { \frac { \mathtt { p } } { 2 } } ,$ 设A $( \mathbf { x } _ { 1 } , \mathbf { y } _ { 1 } ) , \mathbf { B } ( \mathbf { x } _ { 2 } , \mathbf { y } _ { 2 } ) ( \mathbf { x } _ { 2 } { > } \mathbf { x } _ { 1 } )$ ，由题意可知 $\mathrm { y } _ { 1 } { > } 0 , \mathrm { y } _ { 2 } { > } 0$

由 $y = x + \frac { p } { 2 }$ ，消去y得 $\mathbf { x } ^ { 2 } - 2 \mathsf { p x } - \mathsf { p } 2 { = } 0$

由韦达定理得， $\mathrm { x _ { 1 } + x _ { 2 } = 2 p , x _ { 1 } \mathrm { x _ { 2 } = - \ p ^ { 2 } } }$

所以梯形ABCD的面积为： $S { = } { \frac { 1 } { 2 } } \ ( \mathbf { y } _ { 1 } { + } \mathbf { y } _ { 2 } ) \quad ( \mathbf { x } _ { 2 } - \mathbf { x } _ { 1 } ) \ { = } { \frac { 1 } { 2 } } \ ( \mathbf { x } _ { 1 } { + } \mathbf { x } _ { 2 } { + } { \mathbf { p } } ) \quad ( \mathbf { x } _ { 2 } - \mathbf { x } _ { 1 } ) \ { = } { \frac { 1 } { 2 } } { \mathbf { \hat { \bf 3 } } } { \bf p }$

$$ \sqrt { ( \mathrm { ~ ~ \scriptstyle ~ x ~ } _ { 1 } + { \bf x } _ { 2 } ) \mathrm { ~ ~ \Lambda ~ } ^ { 2 } - 4 { \bf x } _ { 1 } { \bf x } _ { 2 } } = 3 \sqrt { 2 } { \bf p } ^ { 2 } $$

所以 $3 { \sqrt { 2 } } { \mathrm { p } } ^ { 2 } { = } 1 2 { \sqrt { 2 } }$ ，又 $\mathbf { \nabla } . \mathbf { p } > 0$ ，所以 $\scriptstyle \cdot p = 2$

故答案为2

【点评】本题考查抛物线的焦点坐标，直线的方程，直线与抛物线的位置关系，考查考生的运算能力，属中档题