（12分）等比数列 a _ n 中， a _ 1 = 1…——2018 高考数学第 17 题答案解析

【考点】89：等比数列的前n项和

【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列

【分析】（1）利用等比数列通项公式列出方程，求出公比 $\mathtt { q } = \pm 2$ ，由此能求出{a$\mathfrak { n } ^ \}$ 的通项公式

> ②当 $\mathtt { a } _ { 1 } = 1 , ~ \mathtt { q } = \mathtt { - } ~ 2$ 时， $S _ { \mathfrak { n } } { = } \frac { 1 { - } ( - 2 ) ^ { \mathfrak { n } } } { 3 }$ ，由 $S _ { m } = 6 3$ ，得 $S _ { m } = \frac { 1 - ( - 2 ) ^ { \pi } } { 3 } = 6 3$ $\mathsf { m e N }$

无解；当 $\mathtt { a } _ { 1 } = 1$ ，q=2时， $S _ { \mathfrak { n } } { = } 2 ^ { \mathfrak { n } } - 1$ ，由此能求出m

【解答】解：（1）∵等比数列 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 中， $\mathsf { a } _ { 1 } = 1 , \mathsf { a } _ { 5 } = 4 \mathsf { a } _ { 3 }$

$\therefore 1 \times \mathsf { q } ^ { 4 } = 4 \times \mathsf { \Omega } ( 1 \times \mathsf { q } ^ { 2 } )$

解得q=±2，

当 $\mathtt { q } = 2$ 时， $a _ { n } = 2 ^ { n - 1 }$

当q=﹣2时， $a _ { n } = ( - 2 ) n - 1$

$\therefore \{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 的通项公式为， $a _ { n } = 2 ^ { n - 1 }$ ，或 $a _ { n } = ( - 2 ) n - 1$

（2）记 $\scriptstyle { \mathsf { S } } _ { \mathsf { n } } .$ 为 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 的前n项和

当 $\mathsf { a } _ { 1 } = 1 , ~ \mathsf { q } = \mathsf { - } ~ 2$ 时， $S _ { n } = \frac { \bar { \ b { \mathrm { \sf ~ a } } } _ { 1 } \left( 1 - \bar { \ b { \mathrm { \sf ~ q } } } ^ { \mathrm { \bf ~ n } } \right) } { 1 - \bar { \ b { \mathrm { \sf ~ q } } } } = \frac { 1 - ( - 2 ) ^ { \bar { \bf ~ n } } } { 1 - ( - 2 ) } = \frac { 1 - ( - 2 ) ^ { \bar { \bf ~ n } } } { 3 }$

由 $S _ { m } = 6 3$ ，得 $\cdot S _ { m } = \frac { 1 - ( - 2 ) ^ { \pi } } { 3 } = 6 3$ ，m∈N，无解；

当 $\mathtt { a } _ { 1 } = 1$ ， $\mathtt { q } = 2$ 时， $S _ { n } = \frac { a _ { 1 } ( 1 - q ^ { n } ) } { 1 - q } = \frac { 1 - 2 ^ { n } } { 1 - 2 } = 2 ^ { n } - 1$

由 $S _ { m } = 6 3$ ，得 $S _ { m } { = } 2 ^ { \ m _ { \mathrm { m } } } \cdot 1 { = } 6 3 , ~ \mathsf { m } { \in } \mathsf { N }$

解得m=6

【点评】本题考查等比数列的通项公式的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题