2014_daganji_old
11．（5分）已知二面角α﹣l﹣β为 ${ \mathfrak { 6 0 } } ^ { \circ }$ ， $\mathsf { A B C } \mathtt { Q }$ ，AB⊥l，A为垂足， ${ \mathsf { C D C } } { \mathsf { \beta } }$ ，C∈l，$\angle A C D = 1 3 5 ^ { \circ }$ ，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为（ ）A $\frac { 1 } { 4 }$ B $\frac { \sqrt { 2 } } { 4 }$ C $\frac { \sqrt { 3 } } { 4 }$ D $\frac { 1 } { 2 }$
B
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【考点】LM：异面直线及其所成的角
【专题】5G：空间角
【分析】首先作出二面角的平面角，然后再构造出异面直线AB与CD所成角，利用解直角三角形和余弦定理，求出问题的答案
【解答】解：如图，过A点做AE⊥l，使BE⊥β，垂足为E，过点A做 $\mathsf { A F } \parallel \mathsf { C D }$ ，过点E$E F \bot A E$ ，连接BF，
$$ \therefore \angle E A C = 9 0 ^ { \circ } $$
$$ \angle A C D = 1 3 5 ^ { \circ } $$
$$ \therefore \angle F A C = 4 5 ^ { \circ } $$
$$ . \angle E A F = 4 5 ^ { \circ } $$
在 $\tt R t \triangle B E A$ 中，设AE=a，则AB=2a， $\mathtt { B E = } \sqrt { \mathtt { 3 } } \mathtt { a }$
在 $\mathsf { R t \triangle A E F } \sharp$ ，则EF=a， $\mathsf { A F } { = } \sqrt { 2 } \mathsf { a }$
在 $\tt R t \triangle B E F$ 中，则 $\textsf { B F } = 2 a$
∴异面直线AB与CD所成的角即是 $\angle B A F$
$$ \therefore \cos \angle B A F = \frac { A \mathrm { B } ^ { 2 } + A \mathrm { F } ^ { 2 } - \mathrm { B F } ^ { 2 } } { 2 \mathrm { A B } \bullet \mathrm { A F } } = \frac { ( 2 \mathrm { ~ a ~ } ) ^ { 2 } + ( \sqrt { 2 } \bar { \mathrm { ~ a ~ } } ) ^ { 2 } - ( 2 \bar { \mathrm { ~ a ~ } } ) ^ { 2 } } { 2 \times 2 \mathrm { a } \times \sqrt { 2 } \mathrm { a } } = \frac { \sqrt { 2 } } { 4 } . $$
故选：B
【点评】本题主要考查了二面角和异面直线所成的角，关键是构造二面角的平面角和异面直线所成的角，考查了学生的空间想象能力和作图能力，属于难题