2011_江苏卷
18．（本小题满分16分）
如图，在平面直角坐标系xOy中，M N, 分别是椭圆 ${ \frac { x ^ { 2 } } { 4 } } + { \frac { y ^ { 2 } } { 2 } } = 1$ 的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于 $P , A$ 两点，其中点P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B．设直线PA的斜率为k
①当直线PA平分线段MN，求k的值；
②当k = 2时，求点P到直线AB的距离d；
（3）对任意 $k > 0$ ，求证： $P A \perp P B$
见解析
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【解答】
本小题主要考查椭圆的标准方程及几何性质、直线方程、直线的垂直关系、点到直线的距离等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力.满分16分.
解：(1)由题设知， $a = 2 , b = { \sqrt { 2 } }$ ,故 $M ( - 2 , 0 ) , N ( 0 , - \sqrt { 2 } )$ ，所以线段MN中点的坐标为$( - 1 , - \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } )$ .由于直线 PA平分线段MN,故直线 PA 过线段 MN的中点，又直线 PA
过坐标原点，所以 $k = { \frac { - \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } } { - 1 } } = { \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } } .$
(2)直线 PA 的方程为 $y = 2 x$ ，代入椭圆方程得$\frac { x ^ { 2 } } { 4 } + \frac { 4 x ^ { 2 } } { 2 } = 1$ ，解得 $x = \pm \frac { 2 } { 3 }$ ，因此 $P ( \frac { 2 } { 3 } , \frac { 4 } { 3 } ) , A ( - \frac { 2 } { 3 } , - \frac { 4 } { 3 } )$ (第18题)于是 $C ( \frac { 2 } { 3 } , 0 )$ ，直线AC的斜率为 $\frac { 0 + \frac { 4 } { 3 } } { \frac { 2 } { 3 } + \frac { 2 } { 3 } } = 1$ ，故直线AB的方程为 $x - y - \frac { 2 } { 3 } = 0$ 因此， $d = \frac { \vert \frac { 2 } { 3 } - \frac { 4 } { 3 } - \frac { 2 } { 3 } \vert } { \sqrt { 1 ^ { 2 } + 1 ^ { 2 } } } = \frac { 2 \sqrt { 2 } } { 3 } .$
(3)解法一：将直线 PA 的方程 $y = k x$ 代人 $\frac { x ^ { 2 } } { 4 } + \frac { y ^ { 2 } } { 2 } = 1$ ，解得 $x = \pm \frac { 2 } { \sqrt { 1 + 2 k ^ { 2 } } }$ $\mu = \frac { 2 } { \sqrt { 1 + 2 k ^ { 2 } } }$ 则 $P ( \mu , \mu k ) , A ( - \mu , - \mu k )$ $C ( \mu , 0 )$ .故直线AB的斜率为 $\frac { 0 + \mu k } { \mu + \mu } = \frac { k } { 2 }$ 其方程为 $y = \frac { k } { 2 } \left( x - \mu \right)$ ，代入椭圆方程得 $\left( 2 + k ^ { 2 } \right) x ^ { 2 } - 2 \mu k ^ { 2 } x - \mu ^ { 2 } ( 3 k ^ { 2 } + 2 ) = 0$ 解得 $x = \frac { \mu ( 3 k ^ { 2 } + 2 ) } { 2 + k ^ { 2 } }$ 或 $x = - \mu .$ 因此 $B ( \frac { \mu ( 3 k ^ { 2 } + 2 ) } { 2 + k ^ { 2 } } , \frac { \mu k ^ { 3 } } { 2 + k ^ { 2 } } )$ 于是直线 PB的斜率 $k _ { 1 } = \frac { 2 + k ^ { 2 } } { \frac { \mu ( 3 k ^ { 2 } + 2 ) } { 2 + k ^ { 2 } } - \mu } = \frac { k ^ { 3 } - k ( 2 + k ^ { 2 } ) } { 3 k ^ { 2 } + 2 - ( 2 + k ^ { 2 } ) } = - \frac { 1 } { k } \cdot$ 因此 $k _ { 1 } k = - 1$ ，所以 $P A \perp P B .$ 解法二：设 $P ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) , B ( x _ { 2 } , y _ { 2 } )$ ，则 $x _ { 1 } > 0 , x _ { 2 } > 0 , x _ { 1 } \neq x _ { 2 } , A ( - x _ { 1 } , - y _ { 1 } ) , C ( x _ { 1 } , 0 )$ .设直线 PB， AB的斜率分别为 $k _ { 1 } , k _ { 2 } .$ 因为C在直线AB上，所以 $k _ { 2 } = \frac { 0 - ( - y _ { 1 } ) } { x _ { 1 } - ( - x _ { 1 } ) } = \frac { y _ { 1 } } { 2 x _ { 1 } } = \frac { k } { 2 }$ 从而$\begin{array} { r l } & { k _ { 1 } k { + } 1 = 2 k _ { 1 } k _ { 2 } { + } 1 = 2 \ \cdot \frac { y _ { 2 } - y _ { 1 } } { x _ { 2 } - x _ { 1 } } \cdot \frac { y _ { 2 } - \left( - y _ { 1 } \right) } { x _ { 2 } - \left( \begin{array} { c } { { - } x _ { 1 } } \end{array} \right) } + 1 } \\ & { \quad \quad \quad = \frac { 2 y _ { 2 } ^ { 2 } - 2 y _ { 1 } ^ { 2 } } { x _ { 2 } ^ { 2 } - x _ { 1 } ^ { 2 } } + 1 = \frac { \left( x _ { 2 } ^ { 2 } + 2 y _ { 2 } ^ { 2 } \right) - \left( x _ { 1 } ^ { 2 } + 2 y _ { 1 } ^ { 2 } \right) } { x _ { 2 } ^ { 2 } - x _ { 1 } ^ { 2 } } = \frac { 4 - 4 } { x _ { 2 } ^ { 2 } - x _ { 1 } ^ { 2 } } = 0 . } \end{array}$ 因此 因此 $k _ { 1 } k = - 1$ ，所以 所以 $P A \perp P B$