（5分）已知函数 f(x)=|lg x| ．若 a ≠ b…——2010 高考数学第 7 题答案解析

【考点】34：函数的值域；3A：函数的图象与图象的变换；4O：对数函数的单调性与特殊点。

【专题】11：计算题．
【分析】由已知条件 $a \neq b$ ，不妨令 $a<b$ ，又 $y=\lg x$ 是一个增函数，且 $f(a)=f(b$ ），故可得， $0<a<1<b$ ，则
$\lg a=-\lg b$ ，再化简整理即可求解；或采用线性规划问题处理也可以。

【解答】解：（方法一）因为 $f(a)=f(b)$ ，所以 $|\lg a|=|\lg b|$ ，
不妨设 $0<a<b$ ，则 $0<a<1<b, \therefore \lg a=-\lg b, \lg a+\lg b=0$
$\therefore \lg (a b)=0$
$\therefore \mathrm{ab}=1$,
又 $a>0, b>0$ ，且 $a \neq b$
$\therefore(a+b)^{2}>4 a b=4$
$\therefore a+b>2$
故选：C．
（方法二）由对数的定义域，设 $0<a<b$ ，且 $f(a)=f(b)$ ，得：$\left\{\begin{array}{l}0<a<1 \\ 1<b \\ a b=1\end{array}\right.$ ，
整理得线性规划表达式为：$\left\{\begin{array}{l}0<x<1 \\ 1<y \\ x y=1\end{array}\right.$ ，

因此问题转化为求 $z=x+y$ 的取值范围问题，则 $z=x+y \Rightarrow y=-x+z$ ，即求函数的截距最值。
根据导数定义， $\mathrm{y}=\frac{1}{\mathrm{x}} \Rightarrow \mathrm{y}^{\prime}=-\frac{1}{\mathrm{x}^{2}}<-1 \Rightarrow$ 函数图象过点 $(1,1)$ 时 z 有最小为 2 （因为是开区域，所以取不到2），
$\therefore \mathrm{a}+\mathrm{b}$ 的取值范围是 $(2,+\infty)$ ．
故选：C．
【点评】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考生在做本小题时极易忽视 a 的取值范围，根据条件 $\mathrm{a}>0, \mathrm{~b}>0$ ，且 $\mathrm{a} \neq \mathrm{b}$ 可以利用重要不等式 $~\left(a^{2}+b^{2} \geq 2 a b\right.$ ，当且仅当 $a=b$ 时取等号）列出关系式 $~(a+b) ~{ }^{2}>4 a b =4$ ，进而解决问题．