2010 quanguo_old_i · 文 数学　·　真题与答案解析

1．（5分） $\cos 300^{\circ}=$

2．（5分）设全集 $U=\{1,2,3,4,5\}$ ，集合 $M=\{1,4\}, N=\{1,3,5\}$ ，则 $N \cap \left(\mathrm{C}_{\mathrm{U}} \mathrm{M}\right)=$

3．（5分）若变量 $x$ ，$y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}y \leqslant 1 \\ x+y \geqslant 0 \\ x-y-2 \leqslant 0\end{array}\right.$ ，则 $z=x-2 y$ 的最大值为

4．（5分）已知各项均为正数的等比数列 $\left\{a_{n}\right\}, ~ a_{1} a_{2} a_{3}=5, ~ a_{7} a_{8} a_{9}=10$ ，则 $a_{4} a_{5} a_{6}=$

5．（5分）$(1-x)^{4}(1-\sqrt{x})^{3}$ 的展开式 $x^{2}$ 的系数是（ ）

6．（5分）直三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，若 $\angle B A C=90^{\circ}, A B=A C=A A_{1}$ ，则异面直线 $B A { }_{1}$ 与 $\mathrm{AC}_{1}$ 所成的角等于（ ） 

7．（5分）已知函数 $f(x)=|\lg x|$ ．若 $a \neq b$ 且，$f(a)=f(b)$ ，则 $a+b$ 的取值范围是（）

8．（5分）已知 $F_{1} , F_{2}$ 为双曲线 $C: x^{2}-y^{2}=1$ 的左、右焦点，点 $P$ 在 $C$ 上，$\angle F_{1} P F_{2}=6 0^{\circ}$ ，则 $\left|P F_{1}\right| \cdot\left|P F_{2}\right|=$（ ）

9．（5分）正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，$B B_{1}$ 与平面 $A C D_{1}$ 所成角的余弦值为（

10．（5分）设 $a=\log _{3} 2, b=\ln 2, c=5^{-\frac{1}{2}}$ ，则（）

11．（5分）已知圆 O 的半径为 $1, \mathrm{PA} , \mathrm{~PB}$ 为该圆的两条切线， $\mathrm{A} , \mathrm{~B}$ 为两切点，那么 $\overrightarrow{\mathrm{PA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}$ 的最小值为（）

12．（5分）已知在半径为 2 的球面上有 $A , B , C , D$ 四点，若 $A B=C D=2$ ，则四面体 ABCD 的体积的最大值为（）

13．（5分）不等式 $\frac{x-2}{x^{2}+3 x+2}>0$ 的解集是 ## $\{x \mid-2<x<-1$, 或 $x>2\}$ ．

14．（5分）已知 $\alpha$ 为第二象限角， $\sin \alpha=\frac{3}{5}$ ，则 $\tan 2 \alpha=$ $\_\_\_\_$ $-\frac{24}{7}$ ．

15．（5分）某学校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门 ，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 $\_\_\_\_$ 30 种．（用数字作答）

16．（5分）已知 F 是椭圆 C 的一个焦点， B 是短轴的一个端点，线段 BF 的延长线交 C 于点 D ，且 $\overrightarrow{\mathrm{BF}}=2 \overrightarrow{\mathrm{FD}}$ ，则 C 的离心率为 $\_\_\_\_$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$。

17．（10分）记等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，设 $S_{3}=12$ ，且 $2 a_{1}, a_{2}, a_{3}+1$ 成等比数列，求 $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}$ ．

18．（12分）已知 $\triangle A B C$ 的内角 $A$ ，$B$ 及其对边 $a$ ，$b$ 满足 $a+b=a \cot A+b \cot B$ ，求内角C．

19．（12分）投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用。设稿件能通过各初审专家评审的概率均为 0.5 ，复审的稿件能通过评审的概率为 0.3 ．各专家独立评审． （I）求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率； （II）求投到该杂志的4篇稿件中，至少有2篇被录用的概率．

20．（12分）如图，四棱锥 $S-A B C D$ 中，$S D \perp$ 底面 $A B C D, A B \| D C, A D \perp D C, A B= A D=1, D C=S D=2, E$ 为棱 $S B$ 上的一点，平面 $E D C \perp$ 平面 $S B C$ ． （ I ）证明：SE＝2EB； （II）求二面角A－DE－C的大小。 

21．（12分）求函数 $f(x)=x^{3}-3 x$ 在 $[-3,3]$ 上的最值．

22．（12分）已知抛物线 $C: y^{2}=4 x$ 的焦点为 $F$ ，过点 $K(-1,0)$ 的直线 $l$ 与 $C$ 相交于 $A , B$ 两点，点 $A$ 关于 $x$ 轴的对称点为 $D$ ． （I）证明：点 F 在直线 BD 上； （II）设 $\overrightarrow{F A} \cdot \overrightarrow{F B}=\frac{8}{9}$ ，求 $\triangle B D K$ 的内切圆 $M$ 的方程．