（12分）如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，…——2018 高考数学第 18 题答案解析

【考点】LY：平面与平面垂直；MI：直线与平面所成的角

【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角

【分析】（1）利用正方形的性质可得BF垂直于面PEF，然后利用平面与平面垂直的判断定理证明即可

（2）利用等体积法可求出点P到面ABCD的距离，进而求出线面角

【解答】（1）证明：由题意，点E、F分别是AD、BC的中点，

则 $A E = \frac { 1 } { 2 } A D , B F = \frac { 1 } { 2 } B C ,$

由于四边形ABCD为正方形，所以EF⊥BC

由于PF⊥BF，EF∩PF=F，则BF⊥平面PEF

又因为BF⊂平面ABFD，所以：平面PEF⊥平面ABFD

（2）在平面DEF中，过P作PH⊥EF于点H，连接DH，

由于EF为面ABCD和面PEF的交线，PH⊥EF，

则PH⊥面ABFD，故PH⊥DH

在三棱锥P﹣DEF中，可以利用等体积法求PH，

因为DE∥BF且PF⊥BF，

所以PF⊥DE，

又因为 $\triangle \mathsf { P D F } \cong \triangle \mathsf { C D F }$ ，

所以 $\angle F P D = \angle F C D = 9 0 ^ { \circ }$

所以PF⊥PD，

由于 $D E \cap P D = D$ ，则PF⊥平面PDE，

故 $\mathsf { V } _ { \mathsf { F } \mathrm { ~ - ~ } \mathsf { P D E } } \mathsf { = } \frac { 1 } { 3 } \mathsf { P F } \bullet \mathsf { S } _ { \triangle \bar { \mathrm { F D E } } } ,$

因为BF∥DA且BF⊥面PEF，

所以DA⊥面PEF，

所以 ${ \mathsf { D } } { \mathsf { E } } \bot { \mathsf { E } } { \mathsf { P } }$

设正方形边长为2a，则PD=2a， $\mathsf { D E } / \mathsf { = a }$

在 $\triangle \mathsf { P D E ^ { \scriptscriptstyle \perp } }$ 中， $P E = \sqrt { 3 }$ ，

所以 $S _ { \Delta \tt P D E } = \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } a ^ { 2 }$

故 $V _ { F - P D E } = \frac { \sqrt { 3 } } { 6 } a ^ { 3 }$

又因为 $s _ { \Delta D E F } = \frac { 1 } { 2 } a \cdot 2 a = a ^ { 2 }$

所以 $\mathsf { P H } = \frac { 3 \mathsf { V } _ { \mathtt { F } - \mathtt { P D E } } } { \mathsf { a } ^ { 2 } } = \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } \mathsf { a } ,$

所以在 $\triangle P \mathsf { H D }$ 中， $\sin \angle P D H = \frac { P H } { P D } = \frac { \sqrt { 3 } } { 4 }$

即 $\angle P \mathsf { D H }$ 为DP与平面ABFD所成角的正弦值为： $\frac { \sqrt { 3 } } { 4 }$

【点评】本题主要考查点、直线、平面的位置关系．直线与平面所成角的求法．几何法的应用，考查转化思想以及计算能力