2023_全国甲卷
4. 向量 $\scriptstyle | { \vec { a } } | = { \vec { b } } | = 1 , | { \vec { c } } | = { \sqrt { 2 } }$ ，且 $\vec { a } + \vec { b } + \vec { c } = \vec { 0 }$ ，则 $\cos \langle \vec { a } - \vec { c } , \vec { b } - \vec { c } \rangle =$ （ ）
D
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【答案】D
【解析】
【分析】作出图形,根据几何意义求解.
【详解】因为 $\vec { a } + \vec { b } + \vec { c } = \vec { 0 }$ ,所以 $\stackrel { \boldsymbol { \Gamma } } { a } + \stackrel { \boldsymbol { \mathsf { \Pi } } } { b } = - \stackrel { \boldsymbol { \Gamma } } { c }$ ，
即 $\vec { a } ^ { 2 } + \vec { b } ^ { 2 } + 2 \vec { a } \cdot \vec { b } = \vec { c } ^ { 2 }$ ,即 $1 + 1 + 2 { \stackrel { } { a } } \cdot b = 2$ ,所以 $\vec { a } \cdot \vec { b } = 0$
如图,设 $\overrightarrow { O A } = \vec { a } , \overrightarrow { O B } = \vec { b } , \overrightarrow { O C } = \vec { c }$
由题知, $O A = O B = 1 , O C = \sqrt { 2 } , \triangle O A B$ 是等腰直角三角形,
AB边上的高 $O D = { \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } } , A D = { \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } }$
所以 $C D = C O + O D = { \sqrt { 2 } } + { \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } } = { \frac { 3 { \sqrt { 2 } } } { 2 } }$
$$ \tan \angle A C D = \frac {A D}{C D} = \frac {1}{3}, \cos \angle A C D = \frac {3}{\sqrt {1 0}} $$
$$ \cos \langle \vec {a} - \vec {c}, \vec {b} - \vec {c} \rangle = \cos \angle A C B = \cos 2 \angle A C D = 2 \cos^ {2} \angle A C D - 1 $$
$$ = 2 \times \left(\frac {3}{\sqrt {1 0}}\right) ^ {2} - 1 = \frac {4}{5} $$
故选:D.